03 · ยุค heuristic
เส้นทางที่สั้นที่สุด — ประวัติศาสตร์ของศิลปะและศาสตร์แห่งการแก้ปัญหา
Coutances มิถุนายน 1880
Henri Poincaré ล้มเหลวโดยตั้งใจมาสองสัปดาห์เต็ม เขาอายุยี่สิบหก พรสวรรค์ล้นจนนั่งไม่ติด และนั่งที่โต๊ะทำงานใน Caen วันละหนึ่งถึงสองชั่วโมงเพื่อพิสูจน์ข้อปฏิเสธข้อหนึ่ง: ฟังก์ชันชนิดหนึ่ง — ภายหลังได้ชื่อว่า Fuchsian functions เพื่อเป็นเกียรติแก่เขาและทั้งที่เขาทักท้วง — มีอยู่ไม่ได้ เขาลองจับคู่แล้วจับคู่เล่า ไม่มีอะไรอยู่ตัว แล้วเย็นวันหนึ่งเขาฉีกกิจวัตรของตัวเอง ดื่มกาแฟดำก่อนนอน แล้วนอนไม่หลับ "ความคิดผุดขึ้นมาเป็นฝูง" ("Ideas rose in crowds") เขาเขียนไว้; เขารู้สึกได้ว่ามันชนกัน จับคู่กัน จนล็อกเข้าเป็นชุดที่มั่นคง พอถึงเช้าเขาทำสิ่งตรงข้ามกับที่ตั้งใจสำเร็จ: เขาแสดงได้ว่าฟังก์ชันพวกนี้ทั้งชั้น*มี*อยู่จริง สร้างจากอนุกรมไฮเพอร์จีออเมตริก (hypergeometric series) การเขียนบทตรวจสอบใช้เวลาแค่ไม่กี่ชั่วโมง (Poincaré, "Mathematical Creation," 1910)
ส่วนที่แปลกของเรื่องน่าจะจบตรงนั้น แต่ไม่จบ ไม่กี่สัปดาห์ต่อมา Poincaré ออกจาก Caen ไปทัศนศึกษาธรณีวิทยาให้ École des Mines และดีใจที่จะได้คิดเรื่องชั้นหินแทนสมการเชิงอนุพันธ์ ที่ Coutances คณะเปลี่ยนไปขึ้นรถโดยสารเทียมม้า "ในวินาทีที่วางเท้าลงบนขั้นบันได" เขาเล่า ความคิดก็มาถึง ไม่มีใครเรียก และมาครบทั้งก้อน: การแปลงที่เขาใช้นิยามฟังก์ชันใหม่ของตัวเอง*เหมือนกันทุกประการ*กับการแปลงที่เขาเคยพบในการค้นคว้าคนละเรื่องโดยสิ้นเชิง — ในเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด เขาไม่ได้ตรวจสอบตรงนั้น — เขามีบทสนทนาค้างอยู่ที่ต้องกลับไปคุยต่อ — แต่เขารู้สึกถึงสิ่งที่เขาเรียกเองว่า "ความแน่ใจอย่างสมบูรณ์" ("perfect certainty") กลับถึงบ้านแล้วเขาจึงตรวจสอบตามสบาย (Poincaré, "Mathematical Creation," 1910; การเล่าต่อมือสองที่ครบที่สุดอยู่ที่ Shaw, "Henri Poincaré as an Investigator," Popular Science Monthly, 1913)
คณิตศาสตร์ไม่ได้บังคับให้เขาต้องนั่งรถโดยสารอยู่ ชั่วโมงก่อนหน้านั้นเขาไม่ได้คิดถึง Fuchsian functions เลย — หรืออย่างน้อยเขาก็เชื่ออย่างนั้น กระนั้นคำตอบของโจทย์ที่เขาทุ่มเวลาให้หลายเดือนก็มาถึงในเสี้ยววินาทีที่ใช้ยกเท้าข้างเดียว Poincaré คือนักวิทยาศาสตร์คนสำคัญคนแรกที่จับข้อเท็จจริงนี้มาคิดจริงจัง แทนที่จะปล่อยให้เป็นเกร็ดน่ารักไว้เล่าหลังมื้อค่ำ ถ้าจิตแก้โจทย์ได้ทั้งที่เจ้าของจิตยืนยันเองว่าไม่ได้ทำงานกับมัน "การแก้" ไม่ว่าจะเป็นอะไร ก็ไม่ใช่แค่การค้นหาแบบรู้ตัวที่ทำได้เร็วขึ้น มีอย่างอื่นเกิดขึ้นใต้โต๊ะทำงาน และถึงเวลาที่ใครสักคนจะศึกษามันแบบเดียวกับที่ศึกษากระบวนการทางธรรมชาติอื่น — เก็บกรณี ตั้งชื่อขั้นตอน แล้วมองหารูปแบบที่ซ้ำเดิม
ตั้งชื่อให้สี่ขั้นตอน
งานตั้งชื่อตกเป็นของ Graham Wallas นักจิตวิทยาสังคมชาวอังกฤษที่ไม่เคยพิสูจน์ทฤษฎีบทสักข้อในชีวิต แต่เขาอ่าน Poincaré และ Hermann von Helmholtz — นักวิทยาศาสตร์อีกคนที่ทิ้งบันทึกไว้ว่าความคิดดีๆ ของตัวเองมาถึงอย่างประหลาดและไร้ที่มา — ละเอียดพอจะเห็นรูปทรงที่ทั้งสองคนมีร่วมกัน ในหนังสือปี 1926 ชื่อ The Art of Thought Wallas เสนอว่าการแก้ปัญหาเชิงสร้างสรรค์เดินผ่านสี่ขั้นที่แยกออกจากกันได้: การเตรียม (preparation) ขั้นที่ศึกษาโจทย์อย่างรู้ตัวและรวบรวมข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้อง; การบ่มความคิด (incubation) ช่วงเวลา — บางครั้งไม่กี่นาที บางครั้งหลายปี — ที่โจทย์ถูกวางลง แล้วดูเหมือนมีอะไรทำงานต่อโดยไม่มีใครควบคุม; การสว่างวาบ (illumination) ความคิดมาถึงฉับพลัน มักในจังหวะ (ขั้นบันไดรถโดยสาร ครึ่งหลับครึ่งตื่น การเดินเล่น) ที่ไม่เกี่ยวอะไรกับเนื้อหาของโจทย์เลย; และ การตรวจสอบ (verification) ไล่ตรวจสิ่งที่ illumination ยื่นมาให้อย่างตั้งใจและออกแรง เพราะ illumination เป็นเครื่องผลิตลางสังหรณ์ ไม่ใช่เครื่องผลิตบทพิสูจน์ (Wallas, The Art of Thought, 1926; ภาพรวมที่ Wikipedia, "Graham Wallas")
แบบจำลองนี้อ้างน้อยกว่าที่ฟังดู มันไม่ได้บอกว่า incubation คือเวทมนตร์ และไม่ได้บอกว่าเรียก illumination มาตามสั่งได้ มันบอกว่าสี่ขั้นนี้ต่างกันในเชิงหน้าที่ — จิตที่อยู่ใน incubation ทำอะไรบางอย่างที่ต่างจากจิตที่อยู่ในการเตรียม แม้คนคิดจะรู้สึกว่าอย่างแรกคือ "การไม่ทำอะไรเลย" Wallas เอาคำสารภาพส่วนตัวของ Poincaré มาแปลงเป็นข้อกล่าวอ้างสาธารณะที่ทดสอบได้ ว่าจิต*ใดก็ตาม*แก้โจทย์ยาก*ข้อใดก็ตาม*อย่างไร ไม่ว่าโจทย์นั้นจะเป็นทฤษฎีบท บทกวี หรือบานพับที่ติดขัด นี่คือความพยายามครั้งแรกที่จะทำศาสตร์ว่าด้วยหัวของนักแก้ปัญหาเอง — ไม่ใช่ศาสตร์ว่าด้วยตัวโจทย์ แต่ว่าด้วยคนที่ยืนอยู่ตรงหน้าโจทย์
จุดข้อมูลสองจุดไม่พอค้ำข้อกล่าวอ้างนี้ ต่อให้สองจุดนั้นเปล่งประกายแค่ไหน จุดที่เหลือมาจากนักคณิตศาสตร์ที่มีนิสัยซึ่งมีประโยชน์ยิ่งกว่าอัจฉริยภาพ: Jacques Hadamard สะสมความสงสัยเรื่องนิสัยทางความคิดของตัวเองไว้ได้เต็มตู้เอกสาร และเมื่อสนองมันคนเดียวไม่ไหว เขาก็เขียนจดหมาย หนังสือปี 1945 ของเขา The Psychology of Invention in the Mathematical Field สร้างจากการสำรวจตัวเองนานหลายทศวรรษ เทียบกับรายงานที่เขาขอมาจากนักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์ที่ทำงานจริง ในนั้นมี George Pólya และ Albert Einstein ด้วย (Hadamard, An Essay on the Psychology of Invention in the Mathematical Field, 1945) Hadamard ยืนยันสี่ขั้นของ Wallas ได้อย่างเป็นอิสระ และเพิ่มรายละเอียดหนึ่งที่ทำให้ผู้ตอบจดหมายตกใจตอนเอามาเทียบกัน: หลายคน รวมทั้ง Einstein รายงานว่าความคิดทางคณิตศาสตร์ที่ดีที่สุดของตนไม่ได้ใช้ถ้อยคำเลย มันมาถึงเป็นความรู้สึกถึงความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุ — เป็นภาพ เป็นกล้ามเนื้อ เกือบจะเป็นสถาปัตยกรรม — แล้วต้องแปลเป็นภาษาและสัญลักษณ์ธรรมดาทีหลัง บางครั้งต้องออกแรงจริงและสูญเสียบางอย่างไป การเตรียมกับการตรวจสอบคือส่วนของการค้นพบที่เกิดในภาษาที่บอกให้เสมียนจดตามได้ incubation กับ illumination ตามหลักฐานของ Hadamard ส่วนใหญ่ไม่ใช่
นี่ยังไม่ใช่เรื่องทั้งหมดของสิ่งที่หนังสือเล่มนี้จะเรียกว่าการเปลี่ยนกรอบ (reframe) — Wallas กับ Hadamard บรรยายกระบวนการที่เกิดขึ้น*กับ*นักแก้ปัญหา ไม่ใช่ทางเลือกที่นักแก้ปัญหาตั้งใจเลือก แต่มันคือหลักฐานแข็งชิ้นแรกว่า incubation มีจริง จิตปรับโครงสร้างรูปแบบการแทนปัญหา (representation) ของโจทย์ใหม่ได้เอง ไม่มีใครสั่ง และเจ้าของไม่ได้เฝ้าดู บทข้างหน้าจะแสดงการเปลี่ยนกรอบที่ทำอย่างจงใจ ในฐานะวินัยอย่างหนึ่ง บทนี้ว่าด้วยสิ่งที่จิตทำเมื่อการเปลี่ยนกรอบเกิดขึ้นกับมัน — และว่าด้วยเครื่องมือที่คนสร้างขึ้นเมื่อเห็นรูปแบบนี้แล้วพยายามทำให้มันเกิดบ่อยขึ้น
สิ่งที่ลิงกับเทียนสอนนักจิตวิทยาเกสตัลท์
ระหว่างที่คำสารภาพของ Poincaré หมุนเวียนอยู่ในหมู่นักคณิตศาสตร์ ชุมชนอีกกลุ่มที่แยกกันโดยสิ้นเชิงกำลังไปถึงข้อสรุปเดียวกันจากทิศตรงข้าม: ไม่ใช่ด้วยการขอให้มนุษย์หัวดีสำรวจใจตัวเอง แต่ด้วยการเฝ้าดูสัตว์ทำไม่สำเร็จ แล้วอยู่ๆ ก็สำเร็จ
ปี 1913 Prussian Academy of Sciences เปิดสถานีวิจัยลิงเอปที่ Tenerife ในหมู่เกาะคานารี และตั้งนักจิตวิทยาเกสตัลท์ (Gestalt) หนุ่มชื่อ Wolfgang Köhler เป็นผู้อำนวยการ (Wikipedia, "Wolfgang Köhler") หลายปีถัดมา Köhler ตั้งโจทย์ให้ชิมแปนซีของเขาโดยวางรางวัลอาหารไว้พ้นมือเอื้อมนิดเดียว — กล้วยอยู่นอกซี่กรง ต้องใช้ไม้เขี่ยเข้ามา; กล้วยห้อยจากเพดาน ต้องซ้อนลังสองใบขึ้นไปเหยียบ ทฤษฎีการเรียนรู้ของสัตว์ที่ครองสนามอยู่ตอนนั้น มี Edward Thorndike เป็นหัวหอก ถือว่าการเรียนรู้แบบนี้ทั้งหมดคือลองผิดลองถูก: สัตว์ดิ้นไปเรื่อย บางอย่างบังเอิญได้ผล แล้วรางวัลก็ตอกท่าที่สำเร็จนั้นลงไป ชิมแปนซีของ Köhler ทำอะไรบางอย่างที่ไม่เข้ากับเรื่องเล่านั้น พวกมันนั่ง — เห็นได้ชัด เกือบจะเหมือนแสดงละคร ในสายตาของ Köhler — โดยไม่ทำอะไร กวาดตาดูลังกับกล้วย แล้วลุกขึ้นซ้อนลังทั้งชุดในการเคลื่อนไหวเดียวที่ต่อเนื่องและมั่นใจ ไม่มีการลองผิดที่มองเห็นได้ก่อนความสำเร็จที่ไร้ข้อผิดพลาดนั้น Köhler เรียกสิ่งนี้ว่า การหยั่งเห็น (insight) และตีพิมพ์ผลการศึกษาในปี 1917 ในชื่อ Intelligenzprüfungen an Menschenaffen แปลเป็นภาษาอังกฤษปี 1925 ในชื่อ The Mentality of Apes (Wikipedia, "Wolfgang Köhler") ไม่ว่ามันจะเป็นอะไร มันดูไม่เหมือนโชคที่สะสมมา แต่เหมือนภาพของสถานการณ์ในหัวสัตว์ตัวนั้นถูกจัดระเบียบใหม่ในพริบตา — ลังเลิกเป็น "สิ่งที่ชิมแปนซีนั่งข้างๆ" แล้วกลายเป็น "สิ่งที่ชิมแปนซียืนบน"
Karl Duncker ลูกศิษย์ของ Köhler ผลักคำถามเดียวกันเข้าห้องทดลองกับมนุษย์ และตั้งชื่อให้มันจนอยู่รอดในวิชาจิตวิทยาเบื้องต้นทุกคอร์ส: ความยึดติดในหน้าที่ (functional fixedness) ในภารกิจที่ตอนนี้รู้จักกันในชื่อโจทย์เทียนไข ผู้ถูกทดลองได้รับเทียนหนึ่งเล่ม กล่องหมุดกดหนึ่งกล่อง และไม้ขีดหนึ่งกลัก แล้วถูกขอให้ติดเทียนที่จุดแล้วไว้บนผนังโดยไม่ให้ขี้ผึ้งหยดลงโต๊ะข้างล่าง คนส่วนใหญ่พยายามตอกหมุดยึดเทียนติดผนังตรงๆ หรือหลอมขี้ผึ้งลงบนผนังเป็นกาว — ล้มเหลวทั้งคู่ น้อยคนมากที่คิดจะเทหมุดออกจากกล่อง ตอก*กล่อง*ติดผนัง แล้วตั้งเทียนไว้ข้างใน เพราะกล่องถูกจับสวมบท "ภาชนะใส่หมุด" ไปแล้วตั้งแต่ก่อนผู้ถูกทดลองจะเริ่มคิดด้วยซ้ำ พอ Duncker เปลี่ยนไปยื่นหมุดแบบกองรวมให้ วางไว้ข้างกล่องเปล่า อัตราการแก้สำเร็จก็พุ่งขึ้นชัด — กล่องที่เลิกแต่งตัวเป็นภาชนะ กลายเป็นชั้นวางที่มองเห็นได้ (Duncker, "On Problem Solving," Psychological Monographs, 1945; Wikipedia, "Candle problem") functional fixedness คือจิตโหลด representation ไว้ล่วงหน้า — จ่ายบทให้วัตถุหนึ่งบท แล้วไม่ยอมลองบทอื่นถ้าไม่มีใครมาช่วย — และมันคือความล้มเหลวแบบเดียวกับที่ดักผู้มาลองทุกคนที่กอร์เดียม: พื้นที่สถานะที่ความเคยชินบีบให้แคบลงเงียบๆ ไม่ใช่กฎจริงของโจทย์บีบ
Norman Maier ทำงานอยู่ในช่วงเวลาเดียวกันที่อีกฝั่งของแอตแลนติก และถามคำถามที่ยากกว่า: การหยั่งเห็นต้อง*รู้ตัว*ไหมถึงจะทำงาน โจทย์สองเชือกของเขาแขวนเชือกสองเส้นจากเพดาน ห่างกันเกินกว่าที่ผู้ถูกทดลองจะจับเส้นหนึ่งแล้วเอื้อมถึงอีกเส้น; คีมคู่หนึ่งที่วางอยู่ใกล้ๆ ผูกกับเชือกเส้นหนึ่งแล้วแกว่งเป็นลูกตุ้มได้ ผู้ถูกทดลองจึงรับมันได้ขณะถือเชือกเส้นแรกอยู่ คนที่ตันจะได้คำใบ้ที่อำพรางเป็นอุบัติเหตุ: Maier เดินผ่านแล้ว "เผลอ" ปัดเชือกเส้นหนึ่งให้แกว่ง คนส่วนใหญ่ที่แก้โจทย์ได้หลังจากนั้นบอกไม่ได้ว่าทำไมคำตอบถึงผุดขึ้นมา — ในการสัมภาษณ์หลังการทดลองของ Maier มีเพียงราวหนึ่งในสามของคนที่ได้รับความช่วยเหลือแบบนี้ที่รู้ตัวว่าถูกใบ้ (Maier, "Reasoning in Humans II," Journal of Comparative Psychology, 1931; การทำซ้ำและการอภิปรายอยู่ที่ Landrum, "Maier's (1931) Two-String Problem Revisited," 1990) พูดอีกอย่าง จิตไร้สำนึกรับหลักฐานชิ้นหนึ่งเข้าไป ใช้มันปรับโครงสร้างคำตอบใหม่ แล้วซ่อนใบเสร็จไว้ได้ incubation ของ Wallas ไม่ใช่คำเปรียบเปรย มันคือกลไก และ Maier เพิ่งแสดงให้เห็นว่ามันทำงานอยู่ใต้พื้นของสิ่งที่คนรายงานเกี่ยวกับตัวเองได้
ชิมแปนซีของ Köhler เทียนของ Duncker และเชือกแกว่งของ Maier บรรยายการค้นพบเดียวกันสามแบบ: การแก้ไม่ได้เป็นเรื่องของการพยายามหนักขึ้นภายในภาพของโจทย์ที่ตายตัวเสมอไป และส่วนใหญ่ก็ไม่ใช่ด้วยซ้ำ บ่อยครั้งตัวภาพนั่นเองคืออุปสรรค และภาพเปลี่ยนได้ — บางทีเปลี่ยนทีเดียวทั้งภาพ บางทีเปลี่ยนด้วยความช่วยเหลือที่นักแก้ปัญหาไม่เคยสังเกตเห็น — โดยที่นักแก้ปัญหาไม่ได้ทำอะไรที่เรียกว่า "ค้นหาเพิ่ม" เลย
กล่องเครื่องมือของ Pólya
ทั้งหมดนี้ — คำให้การของ Poincaré ขั้นตอนของ Wallas การสำรวจของ Hadamard ห้องทดลองสัตว์และมนุษย์ของ Gestalt — บรรยายสิ่งที่เกิดขึ้นกับนักแก้ปัญหา ไม่มีอะไรในนั้นบอกนักเรียนที่ตันว่าให้*ทำ*อะไรในบ่ายวันอังคารกับโจทย์เรขาคณิตที่ต้องส่งวันพุธ คนที่ปิดช่องว่างนั้น ปิดอย่างเด็ดขาดและเป็นครั้งแรกในรูปแบบที่คนธรรมดาใช้ได้ คือนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการีที่ใช้เวลาหลายปีเฝ้าดูตัวเองและลูกศิษย์คิด
How to Solve It ของ George Pólya ตีพิมพ์ปี 1945 เปิดด้วยแผนที่เรียบง่ายจนน่าอาย: เข้าใจโจทย์, วางแผน, ทำตามแผน, มองย้อนกลับ การเข้าใจฟังดูชัดเกินกว่าจะต้องพูด และประเด็นของ Pólya เองก็คือ นี่แหละเหตุผลที่นักเรียนข้ามมันไปแล้วมางงว่าทำไมถึงตัน; คำถามนำของเขา — อะไรคือสิ่งที่ไม่รู้ อะไรคือข้อมูล เล่าโจทย์นี้ใหม่ด้วยคำของตัวเองได้ไหม — มีอยู่เพราะ "เข้าใจโจทย์" คือขั้นตอนหนึ่ง ไม่ใช่พิธีการ (How to Solve It (1945), summarized at Wikipedia) แต่สี่ขั้นนั้นเป็นแค่โครงกระดูก เนื้อของหนังสือคือพจนานุกรมของวิธีเดาอย่างมีหลัก (heuristic) ที่มีชื่อกว่าหกสิบรายการ — วิธีที่ใช้ได้จริงแต่ไม่มีอะไรรับประกัน สำหรับหาแผนในขั้นที่สอง — และส่วนนี้เองที่พาหนังสือเล่มนี้ไปตั้งอยู่บนโต๊ะที่ห่างไกลจากภาควิชาคณิตศาสตร์
heuristic ของ Pólya บางตัวสมควรจดจำชื่อไว้ เพราะมันกลับมาซ้ำในรูปปลอมตัวตลอดทั้งเล่มที่เหลือ การเทียบเคียง (analogy): ถ้าแก้โจทย์ตรงหน้าไม่ได้ เคยแก้โจทย์ที่คล้ายกันได้ไหม โจทย์ช่วย (auxiliary problem): คิดโจทย์ที่ง่ายกว่าและเกี่ยวข้องกันขึ้นมาเอง แก้ข้อนั้น แล้วใช้คำตอบเป็นบันไดได้ไหม ทำย้อนกลับ: เริ่มจากเป้าหมายแล้วถามว่าสถานะไหนต้องมาก่อนมัน แล้วอะไรต้องมาก่อน*ตัวนั้น* — heuristic ที่ Pólya ยกความดีความชอบว่าเปลี่ยน "หาเส้นทาง" ให้เป็น "หาเส้นทาง" ที่อ่านจากขวาไปซ้าย และบางครั้งนั่นคือการค้นหาที่สั้นกว่า การเจาะจงและการวางนัยทั่วไป (specialization and generalization): ถ้าโจทย์นามธรรมเกินกว่าจะจับได้ ลองกรณีเล็กที่เป็นรูปธรรม; ถ้ามันแคบเกินกว่าจะเห็นโครงสร้าง ถามว่ามันอยู่ในตระกูลใหญ่ตระกูลไหน ไม่มีขั้นตอนไหนในนี้รับประกันคำตอบ ทุกตัวแค่บีบบริเวณของพื้นที่ปัญหา (problem space) ที่คุ้มค่าจะค้นให้แคบลง ด้วยการเดิมพัน — โดยอาศัยประสบการณ์จากโจทย์อื่น — ว่าเส้นทางน่าจะพาดผ่านการเทียบเคียง หรือย้อนจากเป้าหมาย หรือผ่านญาติที่ง่ายกว่า มากกว่าจะผ่านการลองแบบมืดบอด
ชีวิตหลังตีพิมพ์ของหนังสือคือข้อโต้แย้งที่แท้จริงของมัน Marvin Minsky เขียนไว้ในปี 1961 ณ รุ่งอรุณของงานวิจัยปัญญาประดิษฐ์ บอกผู้อ่านตรงๆ ว่า "ทุกคนควรรู้จักงานของ George Pólya เรื่องการแก้ปัญหา" ("everyone should know the work of George Pólya on how to solve problems") (quoted in Wikipedia, "How to Solve It") และ Allen Newell — ผู้ที่ร่วมกับ Herbert Simon สร้างรูปนัยของพื้นที่ปัญหาที่หนังสือเล่มนี้พิงอยู่ตลอด (บทที่ 00) — ภายหลังเขียนบทความทั้งบทความตรวจสอบว่าคำศัพท์ heuristic ของ Pólya มีมากแค่ไหนที่ทำให้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ใช้ได้ และมากแค่ไหนที่ต้านการแปลเป็นโค้ด (Newell, "The Heuristic of George Polya and Its Relation to Artificial Intelligence," 1981) ข้อสรุปของ Newell มีสองคม: ทุกคนในวงการยอมรับว่า heuristic ของ Pólya เป็นไอเดีย*ชนิด*ที่ถูกต้อง แต่ความพยายามหลายทศวรรษก็พิสูจน์ว่าการเปลี่ยน "สังเกตเห็นการเทียบเคียง" ให้เป็นอัลกอริทึมนั้นยากเพียงใด heuristic ที่มนุษย์ใช้ด้วยวิจารณญาณ ไม่ได้แปลว่าเครื่องจักรจะใช้มันได้เลย — ความตึงที่หนังสือเล่มนี้จะเจออีกครั้งเมื่อการค้นหาย้ายจากหัวคนไปสู่ซิลิคอน (บทที่ 04 ถึง 06 และอีกครั้งในบทที่ 10)
สิทธิบัตรสี่หมื่นฉบับ กับไอเดียเดียว
อีกซีกโลกหนึ่ง นักประดิษฐ์โซเวียตคนหนึ่งกำลังแก้โจทย์เดียวกันจากอีกอาชีพ และไม่รู้มาหลายปีด้วยซ้ำว่าหนังสือของ Pólya มีอยู่ Genrich Altshuller ทำงานตรวจคำขอสิทธิบัตรให้กองทัพเรือโซเวียต และมันขัดใจเขาที่วิศวกรเอาแต่ "ประดิษฐ์" ทางแก้ที่ถูกประดิษฐ์ไปแล้วในอุตสาหกรรมอื่น ใต้ศัพท์เฉพาะชุดอื่น ตั้งแต่ปี 1946 เขาเริ่มอ่านสิทธิบัตรไม่ใช่เพื่อเนื้อหา แต่เพื่อ*รูปทรง*ของมัน: นักประดิษฐ์เจอความยากชนิดไหน และท่าชนิดไหนที่คลี่คลายมัน ในการสร้างเมทริกซ์ความขัดแย้งฉบับคลาสสิก Altshuller และผู้ร่วมงานตรวจสิทธิบัตรราวสี่หมื่นฉบับที่ดึงมาจากกองที่ใหญ่กว่านั้นมาก — บันทึกร่วมสมัยฉบับหนึ่งระบุกองต้นทางไว้ที่ราวสี่แสนฉบับ — โดยคัดเฉพาะส่วนที่เป็นการทะลุทะลวงของจริง ไม่ใช่การขัดเกลาตามปกติ (Savransky, "A Few Words About the Altshuller's Contradiction Matrix," The TRIZ Journal, 1997) จำนวนสิทธิบัตรที่แน่นอนต่างกันไปในแต่ละฉบับที่ขบวนการนี้เล่าเอง — ผู้จัดตั้งรุ่นหลังอ้างยอดสะสมที่ใหญ่กว่า เพราะงานวิจัยเดินต่ออีกหลายทศวรรษหลังปี 1946 — แต่อันดับของขนาด คือหลักหมื่นฉบับที่ถูกร่อนด้วยมือและตา ไม่มีใครเถียง (Wikipedia, "TRIZ")
สิ่งที่ Altshuller สกัดออกมาจากการอ่านนั้นคือ TRIZ — Teoriya Resheniya Izobretatelskikh Zadatch หรือทฤษฎีการแก้ปัญหาเชิงประดิษฐ์คิดค้น — สร้างขึ้นบนหน่วยจัดระเบียบเดียวที่เขาเรียกว่า ความขัดแย้งเชิงเทคนิค (technical contradiction): ปรับพารามิเตอร์หนึ่งของระบบให้ดีขึ้น (ทำให้เบาลง) แล้วอีกพารามิเตอร์แย่ลง (มันอ่อนแอลง) ข้อกล่าวอ้างของ Altshuller สุดโต่งสำหรับวิศวกรรมในปี 1946: การประดิษฐ์ของจริงไม่ใช่การประนีประนอมระหว่างสองอย่างนั้น — บางลงและอ่อนแอลงตามไปด้วย — แต่คือท่าที่หนีการแลกได้แลกเสียไปได้ทั้งหมด และท่าที่หนีได้นั้นซ้ำกันข้ามอุตสาหกรรม จนทางแก้ของโจทย์ในโรงงานเคมีอาจเหมือนกันเชิงโครงสร้างกับทางแก้ที่จดสิทธิบัตรไว้แล้วในงานสร้างสะพาน สุดท้ายเขากับเพื่อนร่วมงานกลั่นมันลงเหลือหลักการประดิษฐ์ที่มีชื่อสี่สิบข้อ และเมทริกซ์สำหรับหาว่า เมื่อพารามิเตอร์คู่ใดชนกัน ข้อไหนในสี่สิบข้อน่าจะใช้ได้มากที่สุด (Wikipedia, "TRIZ")
การบรรจบกันกับ Pólya ไม่ใช่ความบังเอิญที่แต่งตัวเป็นพรหมลิขิต — มันคือสิ่งที่ควรคาดได้ ถ้าทั้งสองคนต่างวางมือลงบนข้อเท็จจริงพื้นฐานอันเดียวกันอย่างเป็นอิสระ: ข้ามโดเมนที่ต่างกันสุดขั้ว จำนวนชนิดของท่าที่ต่างกันจริงๆ น้อยกว่าจำนวนโจทย์ที่มันแก้ได้มาก Pólya พบราวหกสิบสำหรับคณิตศาสตร์ Altshuller พบสี่สิบสำหรับวิศวกรรม ไม่มีตัวเลขไหนศักดิ์สิทธิ์ และหนังสือเล่มนี้จะไม่แสร้งว่าสองรายการนั้นแอบเป็นรายการเดียวกัน แต่ทั้งคู่ค้นพบว่านักแก้ปัญหาที่ตันแทบไม่เคยต้องการไอเดียใหม่ที่สร้างจากความว่างเปล่า สิ่งที่ต้องการบ่อยกว่ามากคือขยับไปหา*ชนิด*ของท่าที่รู้จักอยู่แล้ว จับคู่ให้ถูกกับชนิดของอุปสรรคที่อยู่ตรงหน้า
กลับด้าน กลับด้านเสมอ
หนึ่งในชนิดของท่าเหล่านั้นเก่าแก่กว่าการหันเข้าหาจิตวิทยาทั้งหมดนี้ และเรียบง่ายพอจะพูดได้ในห้าคำ: เมื่อตัน ลองทิศตรงข้าม นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Carl Gustav Jacob Jacobi ได้รับเครดิตอย่างกว้างขวางสำหรับคติ man muss immer umkehren — "ต้องกลับด้านเสมอ" ("one must always invert") — มีรายงานว่าเขาปลูกฝังใส่ลูกศิษย์เป็นคำสั่งประจำทุกครั้งที่สมการเชิงอนุพันธ์ต้านการโจมตีตรงๆ: เลิกถามว่าปริพันธ์ของนิพจน์นี้คืออะไร แล้วถามแทนว่านิพจน์นี้เป็นปริพันธ์*ของ*อะไรได้บ้าง การให้เครดิตนี้ต้องระวังเท่ากับที่หนังสือเล่มนี้ระวังดาบและหมุดที่กอร์เดียม: วลีนี้อยู่รอดมาในฐานะสิ่งที่ Jacobi "ว่ากันว่า" บอกลูกศิษย์เท่านั้น ถูกอ้างต่อกันมาหลายทอด และเพิ่งแพร่หลายนอกวงคณิตศาสตร์ในเวลาต่อมามาก ฉะนั้นถ้อยคำ — และอาจรวมถึงเกร็ดทั้งเกร็ด — ควรอ่านเป็นคติชนที่มีแก่นทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่บันทึกคำต่อคำที่ตรวจสอบแล้ว (Mathematical Association of America, "Quotations in Context: Jacobi") สิ่งที่ไม่ใช่คติชนคือพลังของเทคนิคนี้: Jacobi และ Niels Henrik Abel ต่างสร้างชื่อจากการกลับด้านปริพันธ์เชิงวงรี — ไม่ถามว่า "ปริพันธ์นี้มีค่าเท่าไร" แต่ถามว่า "ขอบเขตแบบไหนให้ค่านี้" — แล้วพบฟังก์ชันตระกูลใหม่ทั้งตระกูลที่มีพฤติกรรมดีรออยู่ให้ตั้งชื่อ อยู่อีกฟากของการกลับด้าน (inversion)
การกลับด้านอยู่ในรายการของ Pólya โดยจิตวิญญาณ ถึงจะไม่ตรงกับป้ายชื่อที่เขาใช้เป๊ะๆ — มันเป็นญาติของการทำย้อนกลับ — และมันคือท่าเดียวกับที่ Alexander ใช้ที่กอร์เดียมในบทที่ 00 ไม่ว่าจะด้วยดาบหรือด้วยหมุด: ปฏิเสธทิศทางที่โจทย์ถูกยื่นมาให้ แล้วค้นย้อนกลับแทน มันจะโผล่มาอีก ในรูปอัลกอริทึมแทนที่จะเป็นคติ เมื่อหนังสือเล่มนี้ไปถึงนิสัยของกำหนดการพลวัต (dynamic programming) ที่แก้โจทย์จากขั้นสุดท้ายย้อนกลับมา (บทที่ 04)
ไฟฉายส่องทาง ไม่ใช่คำรับประกัน
ถอยออกจากชื่อแต่ละชื่อ แล้วทั้งบทนี้เหลือรูปทรงเดียว incubation ของ Wallas ความคิดที่ไร้ถ้อยคำของ Hadamard insight ของ Köhler ความยึดติดของ Duncker คำใบ้ที่ซ่อนอยู่ของ Maier พจนานุกรมของ Pólya ความขัดแย้งของ Altshuller การกลับด้านของ Jacobi — ไม่มีอันไหนเลยเป็นขั้นตอนที่หาเส้นทางสั้นที่สุดด้วยการไล่พื้นที่จนหมดแล้วเทียบทุกเส้นทาง ทุกอันคือการเดิมพัน วางลงก่อนจะมีข้อมูลครบ ว่า*ในพื้นที่นั้น เส้นทางสั้นๆ มีแนวโน้มทางสถิติจะซ่อนอยู่ตรงไหน* การเทียบเคียงเดิมพันว่าโครงสร้างของโจทย์เคยถูกแก้ไปแล้วครั้งหนึ่ง ที่ไหนสักแห่ง ในเสื้อผ้าอีกชุด การทำย้อนกลับเดิมพันว่าสถานะเป้าหมายบีบสิ่งที่มาก่อนมันแน่นกว่าที่สถานะตั้งต้นบีบสิ่งที่ตามมันมา เมทริกซ์ความขัดแย้งของ Altshuller เดิมพันว่าหลักการที่หักการแลกได้แลกเสียในงานออกแบบอากาศยาน จะหักการแลกได้แลกเสียในการบรรจุช็อกโกแลตได้ด้วย
ยุค heuristic จึงไม่ใช่บทสรุปของข้อโต้แย้งในหนังสือเล่มนี้ แต่เป็นหมากเปิดของมัน heuristic ไม่เปลี่ยนพื้นที่ปัญหา — มันไม่ทิ้งสถานะ ไม่นิยามเป้าหมายใหม่ ไม่คิดตัวดำเนินการ (operator) ใหม่ขึ้นมา อย่างที่การทำ Königsberg ให้เป็นนามธรรมของ Euler ทำในผลพวงของบทที่ 02 หรืออย่างที่การนิยาม "เคส" ใหม่ของ Snow จะทำในบทที่ 07 heuristic แค่ส่องไฟฉายเข้าไปในพื้นที่ที่ตายตัวแล้วบอกว่า ดูตรงนี้ก่อน นั่นเป็นของจริง มีประโยชน์ และสอนกันได้ — หนังสือของ Pólya พิมพ์ต่อเนื่องมาตั้งแต่ปี 1945 ด้วยเหตุผลนี้เป๊ะๆ (Wikipedia, "How to Solve It") — แต่มันเป็นข้อกล่าวอ้างที่เล็กกว่าการเปลี่ยนกรอบ และความซื่อตรงเรียกร้องให้พูดออกมาก่อนที่สี่บทถัดไปจะแสดงว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อนักแก้ปัญหาเลิกส่องไฟเข้าไปในพื้นที่ที่ถูกยื่นมาให้ แล้วเริ่มสร้างพื้นที่ขึ้นใหม่เอง
ท่าประจำบท
Move 03 — พกเครื่องมือที่มีชื่อ
heuristic ไม่ใช่คำรับประกัน มันคือการเดิมพันที่คนก่อนหน้าคุณวางไว้ ว่าในพื้นที่ของความเป็นไปได้ เส้นทางสั้นๆ มักจับกลุ่มกันอยู่ตรงไหน — และการเดิมพันทุกครั้งมีโหมดความล้มเหลวที่ควรรู้ก่อนวางเงิน
- ถือสำรับสั้น ไม่ใช่สำรับยาว พจนานุกรมของ Pólya ยาวเกินหกสิบรายการ และเมทริกซ์ของ Altshuller มีสี่สิบหลักการ แต่แทบไม่มีนักแก้ปัญหาคนไหนถือไว้ในความจำใช้งาน (working memory) ได้เกินหยิบมือเดียวตอนอยู่ใต้ความกดดัน เลือกชุดทำงานมาชุดหนึ่ง — การเทียบเคียง ทำย้อนกลับ โจทย์ช่วย การกลับด้าน คือสี่ตัวตั้งต้นที่ป้องกันตัวเองได้ — แล้วรู้จักมันให้ทะลุ ดีกว่ารู้จักร้อยตัวแบบผิวๆ
- ตั้งชื่อโหมดความล้มเหลวไว้คู่กับเครื่องมือ การเทียบเคียงล้มเหลวเมื่อผิวหน้าคล้ายโจทย์ที่แก้แล้วแต่โครงสร้างไม่คล้าย การทำย้อนกลับล้มเหลวเมื่อสถานะเป้าหมายบีบสิ่งที่มาก่อนมันไม่พอ functional fixedness ไม่ใช่ข้อบกพร่องของ*นักแก้ปัญหา* — Duncker กับ Maier แสดงให้เห็นแล้วว่ามันคือต้นทุนที่คาดเดาได้ของ heuristic *ทุกตัว*ที่จ่ายบทบาทให้วัตถุไว้ล่วงหน้า รวมถึงตัวที่มีประโยชน์ด้วย
- ปกป้อง incubation อย่างจงใจ Poincaré ไม่ได้เรียก insight บนรถโดยสารนั้นมา เขาวางโจทย์ลงแล้วปล่อยให้การเตรียมที่บดขยี้มาสองสัปดาห์เดินจนจบนอกจอ ถ้าแผนหนึ่งล้มเหลวหลังจากลงแรงอย่างซื่อสัตย์แล้ว การเดินจากไปไม่ใช่การยอมแพ้ — มันคือการใช้ขั้นตอนหนึ่งเดียวของการค้นพบ ตามที่ Wallas และ Hadamard ว่าไว้ ซึ่งเรียกร้องให้หยุดมองโดยเฉพาะ
- ถือความเงียบของ heuristic เป็นข้อมูล เมื่อสำรับทั้งสำรับเปิดออกมาว่างเปล่าต่อโจทย์หนึ่ง นั่นคือหลักฐานว่าตัวพื้นที่นั่นแหละที่ผิด ไม่ใช่ว่าต้องการ heuristic ตัวที่หกสิบเอ็ด นั่นคือสัญญาณให้หยุดค้นหาภายในกรอบที่ถูกยื่นมาให้ แล้วเริ่มถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าเปลี่ยนมัน — ซึ่งคือที่ที่หนังสือเล่มนี้จะไปต่อ
ต่อไป — บทที่ 04 · สงครามกับศาสตร์แห่งการค้นหา: heuristic บีบการค้นหาให้สั้นลงภายในหัวคนคนเดียว สงครามโลกครั้งที่สองจะทำให้มันกลายเป็นอุตสาหกรรม — เปลี่ยนเส้นทางที่สั้นที่สุดให้เป็นวินัยที่มีงบประมาณ มีเครื่องแบบ และมียอดผู้เสียชีวิต
บทถัดไป · 5 / 1204 · สงครามกับศาสตร์แห่งการค้นหา