ภาคผนวก ค — คลังสำรอง {#appC}
บทต่างๆ ใช้ปริศนาไปสามสิบสามข้อจากห้าสิบข้อของชุดหลัก สิบเจ็ดข้อนี้คือส่วนที่ทำให้ครบชุด ที่นี่ไม่มีบทไหนอุ่นเครื่องให้คุณ และไม่มีชื่อหัวข้อคอยกระซิบบอกท่าคิดล่วงหน้า — ซึ่งนั่นแหละคือคุณค่าของพวกมันต่อหลักสูตรฝึกในบทที่ 16 ของสดทั้งนั้น: จงแก้แบบมือเปล่า
★ 17 · ปริศนาคำทายแห่งสฟิงซ์
"สิ่งใดเดินสี่ขาในยามเช้า สองขาในยามเที่ยง และสามขาในยามเย็น?"
สฟิงซ์กำลังรออยู่
เฉลย. ขอปิดไว้ — นี่คือปริศนาข้อเดียวในเล่มที่คุณต้องแลกคำตอบด้วยการอ่านให้จบ มันยืนเฝ้าประตูมาตั้งแต่บทที่ 1 และบันทึกท้ายเล่มจะปิดคดีให้บนหน้าสุดท้ายของหนังสือ ถ้าการรอมันเหลือทน — นั่นแหละคือความหมายของการรอ
ท่า — เปลี่ยนสเกลเวลา. เมื่ออ่านตามตัวอักษรแล้วได้อสุรกาย จงย่อ-ขยายเวลาเสียใหม่ หรือผูกความหมายของคำสักคำเสียใหม่ — คำนามทุกคำในปริศนาคำทายคือช่องเสียบอุปมา
★★ 21 · เชือกรัดรอบโลก
เชือกเส้นหนึ่งรัดแนบเส้นศูนย์สูตรของโลก (~40,000 กม.) คุณต่อเชือกเพิ่มอีกหนึ่งเมตร แล้วยกเชือกให้ลอยเหนือพื้นผิวสม่ำเสมอกันทั้งเส้น แมวลอดใต้ได้ไหม? และถ้าเปลี่ยนเป็นดึงส่วนหย่อนทั้งหมดขึ้นตึงที่จุดเดียว ยอดจะสูงแค่ไหน?
ฟันธงก่อน — แมวลอดได้หรือไม่ได้ — แล้วค่อยอ่านต่อ
เฉลย. ช่องว่างคือเส้นรอบวงส่วนเกินหารด้วย 2π: 1/(2π) ≈ 15.9 ซม. เท่ากันตลอดทั้งเส้น แมวเดินลอดสบาย ที่เด็ดกว่านั้น: คำตอบไม่ขึ้นกับขนาดของดาวเคราะห์เลย — C = 2πr ดังนั้น Δr = ΔC/2π รัศมีตัดกันหายไป; ลูกแก้วก็ให้ 15.9 ซม. เท่ากัน คำถามที่สองก็หยาบคายพอกัน (ตรวจสอบเชิงตัวเลขแล้ว): ดึงตึงที่จุดเดียว ยอดอยู่สูงจากพื้นผิวราว 121 ม. (θ ≈ (3s/2R)^(1/3) โดย s = ส่วนหย่อน 1 ม.; ความสูง ≈ Rθ²/2) สัญชาตญาณพลาดทั้งสองทิศทาง
ท่า — ให้พีชคณิตวีโต้สัญชาตญาณ. ความรู้สึกสเกลตามขนาดสัมบูรณ์ แต่ความสัมพันธ์ Δr = ΔC/2π ไม่; เมื่อการหาอนุพัทธ์สองบรรทัดขัดกับสัญชาตญาณ ให้การหาอนุพัทธ์ชนะ
★★★ 23 · พาราด็อกซ์การหมุนของเหรียญ
เหรียญ B กลิ้งโดยไม่ลื่นไถลรอบเหรียญ A ที่เหมือนกันทุกประการและตรึงอยู่กับที่ ครบหนึ่งรอบ B หมุนรอบแกนของตัวเองกี่รอบ? แล้วต่อ: วงกลมรัศมี r กลิ้งรอบวงกลมรัศมี 3r — หมุนกี่รอบ?
หยิบเหรียญสองเหรียญมาลอง ลองจริงๆ เถอะ
เฉลย. สองรอบ ไม่ใช่หนึ่ง — กลิ้งเหรียญรอบอีกเหรียญแล้วดูเอง: หัวเหรียญกลับมาตั้งตรงตั้งแต่ครึ่งทางแล้ว การหมุน = การกลิ้งไปตามเส้นทาง + ตัววงโคจรเอง: การกลิ้งสัมผัสให้ C_A/C_B = 1 และวงโคจรแถมอีก 1 สูตรทั่วไปกรณีกลิ้งด้านนอกคือ R/r + 1 กรณีรัศมี 3 จึงได้ 4 ไม่ใช่ 3 คำถามข้อนี้เป๊ะๆ ปรากฏในข้อสอบ SAT ของสหรัฐฯ เดือนพฤษภาคม 1982 โดยเฉลยกำหนดให้ "3" ถูก; นักเรียนสามคนพิสูจน์ว่าข้อสอบผิด ETS ยอมจำนน และคะแนนของทุกคนถูกปรับใหม่ ท้องฟ้าก็เล่นปรากฏการณ์เดียวกัน: วันดาราคติกับวันสุริยคติ — โลกหมุน 366.25 รอบในหนึ่งปีที่ยาว 365.25 วัน
ท่า — แยกสปินออกจากวงโคจร. เมื่อการเคลื่อนที่ประกอบกันหลายชั้น จงแยกส่วนมันออก — และเมื่อการนับถูกโต้แย้ง จงนับด้วยวิธีที่สองที่เป็นอิสระจากกัน แล้วเรียกร้องให้ทั้งสองตรงกัน
★★★★ 24 · แมงมุมกับแมลงวัน
ห้องยาว 30 ฟุต กว้าง 12 ฟุต สูง 12 ฟุต แมงมุมเกาะบนผนังสกัดขนาด 12×12 ด้านหนึ่ง ตรงกึ่งกลาง ต่ำจากเพดาน 1 ฟุต แมลงวันเกาะบนผนังสกัดฝั่งตรงข้าม ตรงกึ่งกลาง สูงจากพื้น 1 ฟุต เส้นทางเดินที่สั้นที่สุดของแมงมุมไปหาแมลงวัน โดยเดินไปตามพื้นผิวใดก็ได้ คือเท่าไร?
วาดรูปห้องเสียก่อน ค่อยไว้ใจตัวเอง
เฉลย. เส้นทางที่เห็นชัดๆ — ขึ้นตรง เลาะเพดาน ลงตรง — ยาว 1 + 30 + 11 = 42 ฟุต แต่ระยะทางบนกล่องคือเส้นตรงบนแผ่นคลี่ของมัน คลี่ชุดห้าหน้าที่ถูกต้อง — ผนังสกัด เพดาน ผนังข้าง พื้น ผนังสกัดฝั่งไกล — แล้วเส้นทางจะกลายเป็นด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉาก 32 × 24: √(1024 + 576) = √1600 = 40 ฟุต (แผ่นคลี่แบบอื่นให้ 43.2 กับ 40.7; 40 ดีที่สุด ตรวจด้วยเครื่องแล้ว) เส้นจีโอเดสิกที่แตะห้าจากหกหน้า ชนะเส้นทางที่ดูตรงที่สุด Dudeney, 1903 — Gardner ยกให้เป็นหนึ่งในปริศนาที่ดีที่สุดเท่าที่เคยมีผู้คิดค้น
ท่า — คลี่ปริภูมิ. เปลี่ยนวิธีแทนปัญหาไปเรื่อยๆ จนคำตอบกลายเป็นเส้นตรง: สะท้อนโต๊ะบิลเลียด คลี่ทรงกระบอก ใส่ log
★★★★ 25 · โจทย์ของช่างตัดเสื้อ
ตัดสามเหลี่ยมด้านเท่าออกเป็นชิ้นให้น้อยที่สุด แล้วประกอบกลับเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสสมบูรณ์
วางกรรไกรลงก่อน คิดก่อน
เฉลย. สี่ชิ้น — และที่น่าทึ่งคือ ทั้งสี่ชิ้นร้อยเป็นโซ่บานพับได้ แกว่งไปทางหนึ่งเป็นสามเหลี่ยม แกว่งอีกทางเป็นจัตุรัส ร่างวิธีสร้าง: แบ่งครึ่งสองด้านที่ D และ E; วาง F บนด้านที่สามให้ EF ยาวเท่าด้านของจัตุรัสเป้าหมาย (√พื้นที่); เส้นตั้งฉากเติมรอยตัดทั้งสามให้ครบ — งานวงเวียนฉบับเต็มอยู่ใน Dudeney (1907) การมีอยู่ของคำตอบไม่เคยเป็นข้อกังขา: รูปหลายเหลี่ยมใดๆ ตัดประกอบเป็นรูปหลายเหลี่ยมพื้นที่เท่ากันใดๆ ได้เสมอ (ทฤษฎีบท Wallace–Bolyai–Gerwien, 1807–1833); เกมที่แท้คือความน้อยที่สุดกับความงาม Dudeney ตั้งโจทย์เมื่อ 6 เมษายน 1902 ได้คำตอบสี่ชิ้นภายใน 4 พฤษภาคม และนำแบบจำลองบานพับทองเหลืองไปแสดงต่อ Royal Society ในปี 1905 เดือนธันวาคม 2024 Demaine, Kamata และ Uehara พิสูจน์ว่าการตัดสามชิ้นเป็นไปไม่ได้ (arXiv 2412.03865) — คำตอบอายุ 122 ปี ได้รับใบรับรองว่าดีที่สุดแล้วเสียที
ท่า — จัดสรรพื้นที่เดิมเสียใหม่. การอนุรักษ์ค้ำประกันว่ามีสะพานเชื่อมระหว่างรูปทรงพื้นที่เท่ากันเสมอ ฝีมือคือการหาสะพานที่เล็กที่สุด — และการพิสูจน์ว่าทำดีกว่านั้นไม่ได้ อาจยากกว่าการทำได้ตั้งหนึ่งศตวรรษ
★ 27 · ผลบวกห้องเรียนของ Gauss
บวกจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 100 — เร็วๆ ในหัว
ตำนานว่าคุณมีเวลาสิบวินาที
เฉลย. จับคู่หัวท้าย: 1+100, 2+99, …, 50+51 — ห้าสิบคู่ คู่ละ 101: 5050 โดยทั่วไปคือ n(n+1)/2 — ผลบวกที่นับเดินหน้าและถอยหลังพร้อมกัน คือ (n+1) จำนวน n ชุด ว่าด้วยตำนาน: เกร็ดเด็กชาย Gauss (กระดานชนวนวางปัง "ligget se") โครงเรื่องมีจริงแต่รายละเอียดถูกแต่งเติม — แหล่งข้อมูลเก่าแก่ที่สุด (Sartorius, 1856) ไม่ระบุอนุกรมใดเจาะจง และรายละเอียด "1 ถึง 100" มางอกทีหลัง (Hayes, 2006) แต่ตัววิธีนั้นเก่าแก่โบราณอยู่ดี
ท่า — จับคู่ตัวสุดขั้ว. ยัดเยียดสมมาตรที่ข้อมูลไม่ได้ป่าวประกาศไว้ แล้วการคำนวณจะยุบตัวลงเอง
★★ 28 · แมลงวันระหว่างรถไฟ
รถไฟสองขบวนอยู่ห่างกัน 20 ไมล์ วิ่งเข้าหากันด้วยความเร็วขบวนละ 10 ไมล์/ชม. แมลงวันตัวหนึ่งออกจากขบวนแรกด้วยความเร็ว 15 ไมล์/ชม. บินไปถึงอีกขบวน หันกลับทันที บินกลับ วนอย่างนี้จนรถไฟพบกัน แมลงวันบินไปไกลเท่าไร?
ข่มใจไว้ อย่าเพิ่งบวกอนุกรม
เฉลย. รถไฟวิ่งเข้าหากันรวม 20 ไมล์/ชม. จึงพบกันใน 1 ชั่วโมงพอดี แมลงวันบินด้วยความเร็ว 15 ไมล์/ชม. ตลอดชั่วโมงนั้น: 15 ไมล์ ไม่ต้องใช้อนุกรมเลย — แม้ผลบวกซิกแซกอนันต์จะลู่เข้าสู่คำตอบเดียวกัน ซึ่งเป็นมุกของเกร็ด von Neumann (ที่คงถูกขัดเงามาแล้ว) พอได้ฟังโจทย์ เขาตอบทันที "อ้อ คุณรู้ทริกนี่เอง" — "ทริกอะไร? ผมบวกอนุกรม"
ท่า — รวมยอดทั้งก้อน ข้ามรายตอน. เมื่อกระบวนการยุ่งเหยิงเป็นตอนย่อยนับไม่ถ้วน แต่ปริมาณเชิงรวม — เวลา ระยะทาง พลังงาน — สะอาดเรียบ จงคำนวณตัวรวม
★★ 29 · ไวน์กับน้ำ
ไวน์แก้วหนึ่ง น้ำแก้วหนึ่ง ปริมาตรเท่ากัน ตักไวน์หนึ่งช้อนใส่แก้วน้ำ คนให้เข้ากัน (หรือไม่คนก็ได้ — ไม่สำคัญ) แล้วตักของผสมหนึ่งช้อนกลับคืน ในน้ำมีไวน์มากกว่า หรือในไวน์มีน้ำมากกว่า?
เลือกข้างเสียก่อนที่การโต้เถียงจะเริ่ม
เฉลย. เท่ากันเป๊ะ — ไม่ว่าจะคนหรือไม่ ช้อนใหญ่แค่ไหน หรือตักไปกลับกี่เที่ยว ข้อพิสูจน์จากสถานะปลายทาง: ทั้งสองแก้วจบที่ปริมาตรเดิม ดังนั้นไวน์ปริมาณเท่าใดที่หายไปจากแก้วไวน์ ต้องไปครองที่อยู่ในแก้วน้ำ และที่ว่างที่มันทิ้งไว้ก็ถูกเติมด้วยน้ำปริมาณเท่านั้นพอดี สมมาตรของการสลับปิดคดีก่อนจะต้องไล่ตามความเข้มข้นใดๆ เสียอีก — โครงกระดูกของการพิสูจน์ด้วยการระบายสีกระดานหมากรุก ในร่างของเหลว (ของประจำสำนัก Rouse Ball และ Gardner)
ท่า — การอนุรักษ์จบข้อโต้แย้ง. เมื่อการทำบัญชีดูยุ่งเหยิง จงถามว่ายอดสุดท้ายต้องเป็นเท่าไร แล้วปล่อยให้การอนุรักษ์ทำเลขแทนทั้งหมด
★★★ 30 · ตู้ล็อกเกอร์พันใบ
ตู้ล็อกเกอร์หมายเลข 1–1000 ปิดหมดทุกใบ นักเรียนคนที่ k (k = 1…1000) สลับสถานะตู้ทุกใบที่เป็นพหุคูณของ k หลังนักเรียนทั้ง 1000 คนเดินผ่านครบ ตู้ใบไหนเปิดค้างอยู่?
ลองตู้ 1 ถึง 10 ด้วยมือก่อน
เฉลย (ยืนยันด้วยการจำลอง). ตู้ n ถูกสลับหนึ่งครั้งต่อหนึ่งตัวหารของ n จึงจบแบบเปิดก็ต่อเมื่อ n มีตัวหารเป็นจำนวนคี่ ตัวหารจับคู่กันเอง d ↔ n/d — ยกเว้นเมื่อ d = n/d นั่นคือเมื่อ n เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตู้ที่เปิดคือ 1, 4, 9, …, 961: กำลังสองสมบูรณ์ทั้ง 31 จำนวนที่ ≤ 1000 ข้อยกเว้นของการจับคู่นั่นแหละคือคำตอบ
ท่า — จับคู่ให้หมด แล้วสอบสวนข้อยกเว้น. สำหรับคำถามภาวะคู่คี่ (parity) จงหาการจับคู่สลับตัวเอง (involution) แล้วเพ่งดูจุดตรึงของมันให้หนักๆ
★★ 31 · หอคอยฮานอย
หมุดสามแท่ง; จาน n ใบซ้อนเรียงตามขนาดอยู่บนหมุดหนึ่ง จงย้ายหอทั้งหอไปอีกหมุด ทีละใบ ห้ามวางจานใหญ่ทับจานเล็ก ต้องใช้อย่างน้อยกี่ตา? (เหล่าพระในตำนานเล่นที่ n = 64)
เล่นสามจานด้วยมือ สอนได้มากกว่านั่งจ้องเป็นชั่วโมง
เฉลย. T(n) = 2T(n−1) + 1: ย้ายจาน n−1 ใบไปพักไว้ ย้ายจานใหญ่ แล้วซ้อนกลับ — ดังนั้น T(n) = 2ⁿ − 1 และการเวียนเกิด (recursion) นั่นเองคืออัลกอริทึม สำหรับ 64 จานของเหล่าพระ: 2⁶⁴ − 1 = 18,446,744,073,709,551,615 ตา — วินาทีละหนึ่งตา ใช้เวลาราว 585 พันล้านปี (ตัวเลขเดียวกับข้าวสาลีบนกระดานหมากรุก; การทวีคูณในร่างจริง) ส่วน "ตำนานพราหมณ์โบราณ" นั้นถูกกุขึ้นทั้งดุ้นโดยผู้แต่งปริศนาตัวจริง Édouard Lucas ผู้วางขายมันในปี 1883 ใต้นามแฝงแบบแอนาแกรม "N. Claus de Siam" — การตลาดกับคณิตศาสตร์ในกล่องเดียวกัน
ท่า — เวียนเกิด: เชื่อตัวเองเวอร์ชันเล็กกว่า. แก้ปัญหาโดยสมมุติว่าโจทย์ขนาดเล็กกว่าถูกแก้แล้ว แล้วให้โครงสร้างพาคุณไป — นี่คือปริศนาที่คุ้มค่าที่สุดที่จะสัมผัสด้วยมือ ก่อนจะเขียนฟังก์ชันเรียกซ้ำใดๆ ในชีวิต
★★★★ 36 · ซองสองใบ
ซองผนึกสองซอง ซองหนึ่งบรรจุเงินเป็นสองเท่าของอีกซอง คุณหยิบมาหนึ่งซอง — ข้างในมี X ข้อโต้แย้งว่า: "อีกซองมี 2X หรือ X/2 ด้วยโอกาสเท่ากัน; ค่าคาดหมาย (2X + X/2)/2 = 1.25X > X จึงควรสลับ แต่เหตุผลเดียวกันก็บอกให้สลับกลับ วนไปไม่รู้จบ" มันพังตรงไหนกันแน่?
หาประโยคเป๊ะๆ ที่ข้อโต้แย้งเล่นตุกติก
เฉลย. จุดบกพร่องคือการสลับตัวแปร ในกิ่ง "อีกซอง = 2X" สัญลักษณ์ X หมายถึงจำนวนที่น้อยกว่า; ในกิ่ง "อีกซอง = X/2" มันหมายถึงจำนวนที่มากกว่า อักษรตัวเดียว สองความหมาย — สูตรจึงเอาแอปเปิลบวกกับส้ม ทำให้ถูกต้อง: เรียกเงินคู่นั้นว่า (Y, 2Y); ไม่ว่าซองไหนอยู่ในมือ การสลับได้ +Y หรือ −Y ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน — กำไรคาดหมาย 0 เวอร์ชันยั่วใจแอบสมมุติว่าเงินทุกจำนวนมีโอกาสเท่ากันหมด นั่นคือ uniform prior บนช่วงอนันต์ ซึ่งไม่ใช่การแจกแจงความน่าจะเป็น; ด้วย prior ที่ถูกกติกาใดๆ กำไรคาดหมายแบบมีเงื่อนไขอินทิเกรตแล้วได้ศูนย์ (สำหรับจำนวนเงินที่สังเกตเห็นจริงค่าหนึ่ง prior ที่ถูกกติกาอาจเข้าข้างการสลับได้จริงๆ — นั่นคือการอัปเดตแบบเบย์ ไม่ใช่พาราด็อกซ์) วงศ์ตระกูล: พาราด็อกซ์เนกไทของ Kraitchik (1943); ฉบับสมัยใหม่คือ Nalebuff (1989)
ท่า — ตอกหมุดตัวแปรสุ่ม. เขียนให้ชัดว่าอะไรคือสิ่งสุ่ม อะไรคือสิ่งที่สังเกตได้ และสัญลักษณ์แต่ละตัวหมายถึงอะไรในแต่ละกิ่ง — "พาราด็อกซ์" ความน่าจะเป็นส่วนใหญ่คืออาชญากรรมทางสัญลักษณ์
★★★★ 39 · Rubik's Cube กับคอมมิวเทเตอร์
ไม่ใช่ "แก้ลูกบิด" — แต่คือโจทย์การออกแบบที่อยู่ข้างใต้มัน จงหาลำดับการบิดที่เปลี่ยนแค่นิดเดียว — เช่นหมุนวนมุมสามชิ้น — โดยไม่แตะต้องความโกลาหล 4.3×10¹⁹ สถานะที่เหลือของลูกบาศก์ จะออกค้นหาเข็มแบบนั้นได้อย่างไรกัน?
ข้อนี้ถามหาวิธี ไม่ใช่คำตอบ
เฉลย. คอมมิวเทเตอร์: สำหรับลำดับ A และ B ให้ทำ A B A⁻¹ B⁻¹ ถ้า A กับ B แตะชิ้นส่วนที่แทบไม่ทับซ้อนกัน เกือบทุกอย่างจะหักล้างกันเอง เหลือผลสุทธิเป็นการเปลี่ยนแปลงเฉพาะที่เล็กๆ — สามเหลี่ยมวนของมุมหรือขอบ หรือการบิดสักคู่ จากนั้น conjugation (C X C⁻¹) เป็นตัวเล็งเครื่องมือ: พาชิ้นที่คุณสนใจเข้าตำแหน่ง ใช้คอมมิวเทเตอร์ แล้วพากลับ วิธีเล่นของมนุษย์ทุกสำนักคือห้องสมุดของคอมมิวเทเตอร์ที่ถูก conjugate มาแล้ว; นั่นคือเหตุผลที่ "สูตร" สำหรับมือใหม่มีอยู่ได้เลย สเกลของวัตถุชิ้นนี้: 43,252,003,274,489,856,000 ตำแหน่ง — ทว่า God's number คือ 20 ตา (Rokicki–Kociemba–Davidson–Dethridge, 2010, ~35 CPU-years) ขณะที่วิธีของมนุษย์ใช้ 50–60 ช่องว่างระหว่างสิ่งที่มีอยู่จริงกับสิ่งที่หาเจอได้ ถืออยู่บนฝ่ามือ
ท่า — สร้างเครื่องมือสลับที่ได้. ทำ ทำ ถอน ถอน: วิศวกรรมชุดปฏิบัติการที่การรบกวนกันของมันคือการเปลี่ยนแปลงที่คุณต้องการพอดี แล้ว conjugate เพื่อเล็งมัน — นี่คือวิธีแก้ไขระบบใดๆ ที่ซับซ้อนเกินกว่าจะสร้างขึ้นใหม่ รวมทั้ง codebase และองค์กร
★★ 40 · รหัสเลื่อนของ Caesar กับการโจมตีด้วยความถี่
จงถอดรหัส: YMJ RFU NX YMJ YWJFXZWJ (รหัส Caesar — ทุกตัวอักษรถูกเลื่อนด้วยระยะเท่ากัน)
นับตัวอักษรก่อนจะนับกุญแจ
เฉลย. กุญแจมีแค่ 25 ดอก brute force จึงเสร็จในพริบตา — แต่การโจมตีที่งดงามคือเชิงสถิติ อักษรที่ถี่ที่สุดในไซเฟอร์เท็กซ์คือ J (สี่ครั้ง); อักษรที่ถี่ที่สุดของภาษาอังกฤษคือ E; สมมุติฐาน J = E หมายถึงเลื่อน 5 ใส่การเลื่อน −5: THE MAP IS THE TREASURE ไอเดียเดียวกันสเกลไปถึงรหัสแทนที่ทั่วไป ที่กุญแจ 26! ดอกฆ่า brute force ตายสนิท: จับคู่ลายนิ้วมือความถี่ตัวอักษร (E T A O I N …) ตามด้วยคู่อักษรสามัญ (TH, HE) แล้วรหัสก็รูดเปิดออก นั่นคือการเห็นทะลุของ al-Kindi ในศตวรรษที่ 9 — สถิติพิชิตความลับ หนึ่งพันปีก่อนคำว่า "สถิติ" จะถือกำเนิดเป็นคำ
ท่า — โจมตีที่สถิติ. การเข้ารหัสซ่อนเนื้อหา ไม่ได้ซ่อนโครงสร้าง; สิ่งใดต้องรักษาหน้าที่ไว้ สิ่งนั้นต้องรักษาแพตเทิร์นไว้ด้วย จงหาแพตเทิร์นที่ซ่อนไม่ได้
★★★ 42 · คำใบ้คริปติกสองข้อ
จงแก้ในฐานะคำใบ้ครอสเวิร์ดแบบคริปติก: (a) "Gegs (9,4)" (b) "HIJKLMNO (5)"
อ่านคำใบ้แต่ละข้อออกเสียง สองรอบ
เฉลย. (a) SCRAMBLED EGGS — คำใบ้สาธิตคำตอบของตัวมันเอง: "gegs" ก็คือ eggs ที่ถูก scrambled ตามตัวอักษรจริงๆ; ตัวเลข (9,4) ยืนยัน (b) WATER — ตัวอักษรวิ่งจาก H ถึง O: "H-to-O" = H₂O ทั้งคู่คือการนิยามด้วยการแสดงให้ดู: คำใบ้ไม่ได้บรรยายคำตอบ แต่ลงมือทำคำสั่งที่ผลิตคำตอบออกมา ใต้พื้นนั้นคือไวยากรณ์คริปติกมาตรฐาน: คำใบ้ที่แฟร์ทุกข้อบรรจุนิยามหนึ่งกับเส้นทางเล่นคำหนึ่ง — ข้อพิสูจน์อิสระสองทางของคำตอบเดียว สัญญาแบบ Ximenean (Ximenes, On the Art of the Crossword, 1966)
ท่า — ผิวหน้าซ่อนคำสั่ง. อ่านข้อความประหลาดสองรอบ — รอบหนึ่งในฐานะคำบรรยาย อีกรอบในฐานะสูตรวิธีทำ — เพราะบางครั้งรูปแบบ ไม่ใช่เนื้อหา คือตัวสินค้า
★★★ 43 · Nim
เบี้ยหลายกอง — เช่น 3, 5, 7 ผู้เล่นผลัดกันหยิบเบี้ยจำนวนบวกเท่าใดก็ได้จากกองเดียว ใครหยิบเบี้ยตัวสุดท้ายชนะ ใครชนะ และชนะอย่างไร? (อุ่นเครื่อง: จากธง 21 อัน ผลัดกันหยิบครั้งละ 1–3; หยิบอันสุดท้ายชนะ — ใคร?)
เล่นเกมธง 21 อันกับตัวเองก่อน
เฉลย (ทฤษฎีบทตรวจด้วยเครื่องแล้วสำหรับทุกกองขนาด ≤ 5,5,5). บทที่ 9 สกัดสมดุลนี้เป็นอาวุธประจำกล่องเครื่องมือ; ตรงนี้คือฉบับพกพา อุ่นเครื่อง: พหุคูณของ 4 คือตำแหน่งแพ้ — ทิ้งไว้ 20, 16, 12, 8, 4 แล้วเล่นกระจกตาม Nim เต็มรูป: เขียนขนาดกองเป็นเลขฐานสองแล้ว XOR กันทั้งหมด — ได้ nim-sum ตำแหน่ง (3,5,7): 011⊕101⊕111 = 001 ≠ 0 ผู้เล่นคนแรกจึงชนะ; ตาตอบที่ชนะคือ 3 → 2 ทำให้ 010⊕101⊕111 = 0 กลยุทธ์: เดินไปสู่ nim-sum 0 เสมอ จาก 0 ทุกตาเดินย่อมทำลายสมดุล — คู่แข่งจำต้องยื่นตำแหน่งที่ไม่เป็นศูนย์คืนมา — และจากตำแหน่งไม่เป็นศูนย์ ตาเดินปรับสมดุลมีอยู่เสมอ Bouton พิสูจน์ครบถ้วนในปี 1901 นับเป็นเกมแรกในประวัติศาสตร์ที่ถูกแก้สมบูรณ์; จากนั้น Sprague กับ Grundy (1935–39) แสดงว่าเกมไม่เอนเอียง (impartial) ทุกเกมแท้จริงแล้วคือ Nim จำแลง — ปริมาณไม่แปรเปลี่ยนของปริศนาข้อเดียว กลืนกินทั้งประเภทวรรณกรรม
ท่า — รักษาสถานะสมดุล. ระบุคลาสปริมาณไม่แปรเปลี่ยนของตำแหน่งตาย แล้วพาเกมกลับไปที่นั่นทุกตา จนเสรีภาพของคู่แข่งไร้ความหมาย
★★ 45 · ทายสองในสามของค่าเฉลี่ย
ทุกคนในกลุ่มแอบเลือกตัวเลขใน [0,100] คนที่ใกล้สองในสามของค่าเฉลี่ยทั้งกลุ่มที่สุดชนะ คุณจะเลือกเลขอะไร?
เลือกเลขของคุณก่อนจะได้พบทฤษฎี
เฉลย. ทฤษฎีล้วน: การทายเกิน 66.7 ถูกครอบงำ (dominated) เพราะค่าเฉลี่ยเกิน 100 ไม่ได้ ถ้าไม่มีใครเล่นกลยุทธ์ที่ถูกครอบงำ ค่าเฉลี่ยย่อมเกิน 66.7 ไม่ได้ การทายเกิน 44.4 จึงตายเป็นรอบถัดไป; การคัดออกวนซ้ำลงไปเรื่อยๆ จนถึง 0 — จุดสมดุล Nash หนึ่งเดียว ความเป็นจริง: ในการทดลองของ Nagel ปี 1995 และการประกวดทางหนังสือพิมพ์ที่มีผู้เล่นนับพัน เลขที่ชนะอยู่ราวๆ 20–25 — ประชากรจริงคือส่วนผสมของผู้เล่น level-0 (สุ่ม ~50), level-1 (ทาย 33), level-2 (ทาย 22) โดยมีน้อยคนที่ลงลึกกว่านั้น การเล่นที่ถูกต้องไม่ใช่จุดสมดุล; แต่คือหนึ่งขั้นลึกกว่าฝูงชน ไม่มากไปกว่านั้น คำบรรยายตลาดหุ้นแบบประกวดความงามของ Keynes (1936) ก็คือปริศนาข้อนี้ในชุดสูท
ท่า — ไล่จำลองใจคนอื่น (แล้วหยุด). จำลองว่าคนอื่นจะทำอะไร รวมถึงแบบจำลองที่เขามีต่อคุณ แต่จงสอบเทียบความลึกของการเวียนซ้ำกับประชากรจริง ไม่ใช่ประชากรในอุดมคติ
★ 47 · พับกระดาษถึงดวงจันทร์
กระดาษแผ่นหนึ่งหนา 0.1 มม. พับครึ่ง 42 ครั้ง (ยกข้อความเป็นไปไม่ได้ทางกายภาพให้ก่อน) กองกระดาษจะหนาแค่ไหน — หนึ่งเมตร? ตึกหนึ่งหลัง? หรือมากกว่านั้น?
หนึ่งเมตร ตึกหนึ่งหลัง หรือมากกว่า — ฟันธงมา
เฉลย (คำนวณแล้ว). 2⁴² × 0.1 มม. ≈ 4.4×10⁸ ม. — เลยดวงจันทร์ไปแล้ว (ระยะเฉลี่ย 3.84×10⁸ ม.) แค่ยี่สิบพับก็เกิน 100 ม. แล้ว; สามสิบพับไปถึงราว 107 กม. เช็คกับความจริงทางกายภาพ: สถิติโลกคือ 12 พับ — Britney Gallivan, 2002 ด้วยกระดาษทิชชูม้วนยาว 1.2 กม. หลังจากหาอนุพัทธ์ฟังก์ชันความสูญเสีย L = (πt/6)(2ⁿ+4)(2ⁿ−1) ด้วยตัวเองเสียก่อน ซึ่งอธิบายว่าทำไมแต่ละพับถึงกินกระดาษแพงขึ้นเป็นกำลังสอง ตำนานพี่น้อง: กระดานหมากรุกข้าวสาลีทวีคูณ 2⁶⁴ − 1 ≈ 1.8×10¹⁹ เมล็ด (เล่าเรื่องของ Sissa โดย Ibn Khallikan, 1256)
ท่า — เคารพเลขชี้กำลัง. สัญชาตญาณลากเส้นตรงต่อออกไป และการทวีคูณลงโทษมันภายในสามสิบก้าว: เมื่อกระบวนการใดคูณตัวเอง — หนี้ ไวรัล คอมพิวต์ ดอกเบี้ยทบต้น ความคลาดเคลื่อนสะสม — จงคำนวณ อย่ากะด้วยตาเด็ดขาด
บทถัดไป · 5 / 21ภาคผนวก ก — ดัชนีท่าคิด {#appA}