05. ​ทฤษฎีบท​ของ Hill — ​เหตุใด​การผสมผสาน​จึง​ลู่เข้า​สู่​จุด​เดียวกัน

​รากฐาน​ทาง​คณิตศาสตร์​ของ​การผสมผสาน

​กฎ​ของ Benford ​เกิดขึ้น​เอง​เมื่อ​รวม​ข้อมูลเข้า​ด้วยกัน ​นี่​คือ​ข้อสรุป​ที่ Theodore P. Hill ​พิสูจน์​ไว้​อย่าง​รัดกุม​ทาง​สถิติ ​เพื่อ​ตอบ​ว่า​เหตุใด​ชุด​ข้อมูล​ที่​ต่างกัน​จึง​มัก​ลงเอย​ที่​การแจกแจง​แบบ​ลอการิทึม​ของ​เลข​นำ ​บทพิสูจน์​นี้​ตีพิมพ์​ใน​วารสาร Statistical Science ​ปี 1995 ​เล่ม​ที่ 10 ​ฉบับ​ที่ 4 ​หน้า 354–363 ​สาระ​คือ ​ถ้า​สุ่ม​เลือก​การแจกแจง​ความน่าจะเป็น​มา​หลาย​ตัว ​แล้ว​สุ่มตัวอย่าง​จาก​แต่ละ​ตัว ​เลข​นำ​ของ​ตัวอย่าง​ที่รวม​กัน​จะ​ลู่เข้า​หากฎ​ของ Benford ​ไม่​ว่าการ​แจกแจง​เดิม​จะ​มี​รูปร่าง​อย่างไร ​ทฤษฎีบท​นี้​จึง​ตอบ​ได้​ว่า​เหตุใด​ชุด​ข้อมูล 20 ​ชุด​ของ Benford ​ที่​ไม่​มี​ที่มา​ร่วมกัน​เลย ​จึง​เอน​เข้าหา​รูปแบบ​ลอการิทึม​เดียวกัน​ที่​สม่ำเสมอ​และ​คาดการณ์​ได้ ​ผลงาน​ของ Theodore P. Hill (1995) ​ชี้​ว่า​กฎ​นี้​ทำหน้าที่​เป็นตัว​ดึงดูด​ทาง​คณิตศาสตร์ ​สำหรับ​ส่วนผสม​ของ​กระบวนการ​อิสระ​ที่​ดู​เผินๆ ​ไม่​เกี่ยวข้อง​กัน ​เมื่อ​มอง​การแจกแจง​พื้นฐาน​เป็นตัว​แปร​สุ่ม ​ทฤษฎีบท​แสดงว่า​กฎ​นี้​ไม่​ใช่​เรื่อง​บังเอิญ ​มัน​เป็นผล​พลอย​ได้​เมื่อ​ผสม​การแจกแจง​จำนวนมาก​เข้าด้วยกัน

​นัยสำคัญ​ต่อ​งาน​บัญชี​ใน​โลก​ความเป็นจริง

​งาน​บัญชี​จริง​รวม​ข้อมูล​การเงิน​จาก​หลาย​แหล่ง​ที่​เป็นอิสระ​ต่อกัน ​ตรง​กับ​กลไก​ที่ Theodore P. Hill ​อธิบาย​ไว้​ใน​ปี 1995 ​งบการเงิน​ประกอบ​ขึ้น​จาก​บัญชี​หลาย​ประเภท ​ส่วนผสม​ของ​การแจกแจง​ที่​ได้​จึง​เอน​เข้าหา​การแจกแจง​แบบ​ลอการิทึม​ของ​ตัวเลข​ไป​เอง​เมื่อ​เวลา​ผ่าน​ไป ​แต่​ขอบเขต​ที่​ปรากฏการณ์​ทาง​คณิตศาสตร์​นี้​อธิบาย​ได้​มี​ข้อจำกัด R.M. Fewster (2009) ​แย้ง​ว่า​ทฤษฎีบท​รัดกุม ​แต่​ไม่​ได้​วินิจฉัย​อะไร Fewster (2009) ​ตั้ง​ข้อสังเกต​ว่า​บทพิสูจน์​บอก​ได้​ว่า​ทำไม​กฎ​ของ Benford ​จึง​ปรากฏ​ใน​ธรรมชาติ ​แต่​แทบ​ไม่​บอก​เลย​ว่า​ทำไม​มัน​จึง​ใช้ได้​กับ​ข้อมูล​ชุด​หนึ่ง ​หรือ​ใช้ได้​เมื่อใด ​นักวิเคราะห์​จึง​ต้อง​รู้​ว่า ​ข้อมูล​ที่​เข้า​เงื่อนไข​ของ​ส่วนผสม​ไม่​ได้​ยืนยัน​ว่า​ไม่​มี​มือ​มนุษย์​แทรกแซง​หรือ​ตกแต่ง​บัญชี ​บทพิสูจน์​ทาง​สถิติ​ให้​เพียง​เกณฑ์​ว่า​พฤติกรรม​ที่​คาดหวัง​ควร​เป็น​อย่างไร ​มัน​ไม่​ได้รับ​รอง​ความถูกต้อง​ของ​แต่ละ​รายการ​ใน​บัญชี​แยกประเภท​ใน​ตัวเอง

​ขีดจำกัด​ของ​ทฤษฎีบท

​ใน​ฐานะ​ผลลัพธ์​ทาง​คณิตศาสตร์ ​ทฤษฎีบท​นี้​ไม่​มี​ใคร​โต้แย้ง ​สิ่ง​ที่ R.M. Fewster (2009) ​โต้แย้ง​คือ​ประโยชน์​เชิง​ปฏิบัติ​ของ​มัน​ใน​การชี้​ความผิดปกติ​ใน​ชุด​ข้อมูล​ชุด​ใด​ชุด​หนึ่ง Fewster (2009) ​ยืน​ว่า​ทฤษฎีบท​เป็น​เครื่องมือ​เชิง​พรรณนา ​ไม่​ใช่​เครื่องมือ​เชิง​วินิจฉัย ​ข้อ​นี้​จำกัด​การใช้​มัน​เป็นตัว​ตรวจจับ​การฉ้อโกง​ที่​ชี้ขาด​ได้ ​บทพิสูจน์​ทาง​คณิตศาสตร์​เป็น​ข้อความ​ว่าด้วย​การลู่เข้า​ใน​ขีดจำกัด ​ชุด​ข้อมูล​ที่​มี​ตัวอย่าง​น้อยหรือ​มี​ข้อจำกัด​เฉพาะ​อาจ​ไม่​แสดง​การลู่เข้า​นั้น​ให้​เห็น​เสมอไป

​ตัวอย่าง: ​นักร้อง​หลาย​คน​ต่าง​คน​ต่าง​ร้อง​โน้ต​แบบ​สุ่ม ​เสียง​เฉลี่ย​ของ​ทั้ง​วง​จะ​กลมกลืน​ในที่สุด ​แม้​ไม่​มี​นักร้อง​คนใด​ร้อง​ได้​สมบูรณ์แบบ​เลย​ก็ตาม

​คำตัดสิน. ​ทฤษฎีบท​นี้​อธิบาย​ได้​ว่า​ทำไม​กฎ​ของ Benford ​จึง​โผล่​ออกมา​จาก​ความซับซ้อน ​แต่​โดย​ตัว​มัน​เอง​แยก​ไม่​ออก​ว่า​ตัวเลข​มาจาก​การเติบโต​ตาม​ธรรมชาติ ​หรือ​จาก​มือ​มนุษย์​ที่​ตกแต่ง​แล้ว​ปกปิด​ไว้​อย่าง​แนบเนียน

​จะ​พลิก​คำตัดสิน​ได้​เมื่อ: ​การทำซ้ำ​อย่าง​รัดกุม​ไม่​พบ​การลู่เข้า ​เมื่อ​ผสม​ตัวอย่าง​สุ่ม​จาก​ชุด​การแจกแจง​ความน่าจะเป็น​ที่​กว้าง ​หลากหลาย ​นิยาม​ชัด ​และ​ไม่​ใช่​การแจกแจง​แบบ Benford

​แหล่ง​อ้างอิง. 1995 · Theodore P. Hill, "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law" — Project Euclid · 2009 · R.M. Fewster, "A Simple Explanation of Benford's Law" — PDF