10. ​หลัก​ที่สอง​และ​หลัก​ถัดไป — ​กฎ​ที่​สมบูรณ์​กว่า

​การขยายความ​ละเอียด​ทาง​สถิติ

​กฎ​นี้​ไม่​ได้​หยุด​อยู่​ที่​เลข​นำ ​ตรรกะ​เดียวกัน​ใช้ได้​กับ​ตัวเลข​ทุก​ตำแหน่ง​ถัดไป Walter R. Mebane, Jr. ​แสดง​ใน​ปี 2006 ​ว่าการ​ทดสอบ​หลัก​ที่สอง ​หรือ​ที่​เรียกกันว่า​การทด​สอบ 2BL ​เพิ่ม​ชั้น​การตรวจสอบ​ให้การ​วิเคราะห์​ชุด​ข้อมูล​ได้​อีก​ชั้นหนึ่ง ​เมื่อ​ใช้กับ​จำนวน​คะแนนเสียง​ใน​หน่วยเลือกตั้ง ​นักวิจัย​เห็น​รูปแบบ​ที่จะ​ถูก​บดบัง​หาก​ดู​เพียง​หลัก​แรก​ของ​ตัวเลข ​แต่​ความละเอียด​ที่​เพิ่มขึ้น​มี​ต้นทุน ​มัน​ให้ผล​บวก​ลวง​ถี่​ขึ้น ​และ​ผลบวก​ลวง​ต้อง​ตีความ​อย่าง​ระมัดระวัง​และ​ถี่ถ้วน ​ใน​การศึกษา​ปี 2006 Mebane ​ตั้ง​ข้อสังเกต​ว่าการ​ทดสอบ 2BL ​ชี้​เขตอำนาจศาล​ที่แท้​จริง​แล้ว​กำลัง​เผชิญ​ปรากฏการณ์​ทางการเมือง​ปกติ​อยู่​บ่อยครั้ง ​ไม่​ใช่​การฉ้อโกง​การเลือกตั้ง​จริง ​นี่​คือ​ความตึงเครียด​พื้นฐาน​ของ​เครื่องมือ​วิเคราะห์ ​ความละเอียด​ทาง​สถิติ​ที่สูง​ขึ้น​แลก​มา​กับ​ประโยชน์​ใช้งาน​จริง​ใน​สภาพแวดล้อม​จริง

​การเปรียบ​เทียบ​ประสิทธิภาพ​ของ​การทด​สอบ​แบบ​หลาย​หลัก

​ยิ่ง​หลาย​หลัก​ไม่​ได้​แปล​ว่า​ยิ่ง​ชัด​เสมอไป Dieter W. Joenssen ​เปรียบเทียบ​ด้วย​วิธี Monte Carlo ​อย่าง​ครอบคลุม​ใน​ปี 2013 ​เพื่อ​วัด​ว่าการ​ทดสอบ​แต่ละ​แบบ​ทำงาน​ได้ดี​เพียงใด​ใน​ขนาด​กลุ่มตัวอย่าง​ที่​ต่างกัน ​เขา​วัด​ใน​กลุ่มตัวอย่าง​ตั้งแต่ 25 ​ถึง 10,000 ​และ​จำลอง 1,000,000 ​ครั้ง​ต่อ​เซลล์ ​เพื่อให้​ข้อสรุป​ทาง​สถิติ​ยืน​ได้​มั่นคง ​การทด​สอบ​การแจกแจง​ร่วม​ของ​เลข​สอง​หลัก​แรก​ได้​พลัง​ทาง​สถิติ​เพิ่มขึ้น​ระหว่าง 1 ​ถึง 3 ​เปอร์เซ็นต์ ​ด้วย​การทด​สอบ Kolmogorov-Smirnov ​และ Freedman-Watson ​เมื่อ​เทียบ​กับ​การแจกแจง​ทางเลือก ​แต่​วิธี​นี้​ไม่​ได้​เหนือกว่า​ใน​ทุก​กรณี Joenssen ​พบ​ว่า​สำหรับ​การทด​สอบ chi-squared ​การทด​สอบ​หลัก​เดียว​ยัง​เป็นตัว​เลือก​ที่​ดีกว่า​ใน​กลุ่มตัวอย่าง​ขนาดใหญ่ ​เลือกคู่​ระหว่าง​การทด​สอบ​กับ​จำนวน​หลัก​ให้​ถูก​จึง​ไม่​ง่าย ​และ​นักวิเคราะห์​ต้อง​ไม่​ทึกทัก​ว่า​หลัก​ที่มาก​ขึ้น​จะ​ให้ผล​ที่​ชัด​กว่า​เสมอ ​ท้ายที่สุด ​โจทย์​หลัก​ของ​ผู้​ที่​ใช้การ​ทดสอบ​เชิงตัวเลข​ที่​ซับซ้อน​เหล่านี้​ยังคง​เป็นเรื่อง​เดิม ​พลัง​ทาง​สถิติ​ที่​ได้มา ​แลก​กับ​ความเสี่ยง​ที่จะ​ชี้​ข้อมูล​ที่​ไม่​มี​อะไร​ผิด​ว่า​ผิด

​ฉันทา​มติ​เกี่ยวกับ​ความซับซ้อน

​ผู้เชี่ยวชาญ​ไม่​มี​ข้อโต้แย้ง​จริงจัง​ใน​ข้อ​นี้ ​ยิ่ง​นำ​หลัก​ตัวเลข​เข้ามา​วิเคราะห์​มากขึ้น ​ข้อมูล​ก็​เพิ่มขึ้น ​และ​ข้อมูล​นั้น​มีค่า​สำหรับ​จับความ​ผิดปกติ​เฉพาะ​แบบ ​ที่​เอกสาร​ทางวิชาการ​ยัง​เห็น​ไม่​ตรงกัน​คือ​คู่​ใด​ระหว่าง​การทด​สอบ​กับ​จำนวน​หลัก​ที่ทำงาน​ได้ดี​ที่สุด​ใน​สถานการณ์​จริง​หลากหลาย​แบบ​ที่​ผู้ตรวจสอบ​ต้อง​เจอ ​เมื่อ​ไม่​มี​คำตอบ​เดียว ​โปรโตคอล​การทด​สอบ​จึง​ต้อง​เลือก​ให้​เข้ากับ​ลักษณะ​และ​ขนาด​ของ​ชุด​ข้อมูล​ที่​กำลัง​ตรวจสอบ​เป็นราย​กรณี

​ตัวอย่าง: ​อาศัย​หลัก​ที่สอง​มา​ยืนยัน​ผลลัพธ์ ​ก็​เหมือน​หยิบ​แว่นขยาย​มา​ส่อง​ลายเซ็น​ที่​ตาเปล่า​ก็​เห็น​ว่า​เลือน​อยู่แล้ว

​คำตัดสิน. ​เพิ่ม​หลัก​แล้ว​การทด​สอบ​ไว​ขึ้น ​แต่​เกณฑ์​หลักฐาน​ต้อง​สูง​ขึ้น​ตาม ​ไม่เช่นนั้น​จะ​กล่าวโทษ​ผู้​ที่​ไม่​มีความผิด​ว่า​ฉ้อโกง

​จะ​พลิก​คำตัดสิน​ได้​เมื่อ: ​มี​การทำซ้ำ​การศึกษา​ของ Joenssen ​ปี 2013 ​แล้ว​พบ​ว่าการ​ทดสอบ chi-squared ​ให้ผล​เหนือกว่า​การทด​สอบ​แบบ​หลาย​หลัก​อย่าง​สม่ำเสมอ ​ไม่​ว่า​ขนาด​กลุ่มตัวอย่าง​ที่​กำหนดให้​จะ​เป็น​เท่าใด

​แหล่ง​อ้างอิง. 2006 · Walter R. Mebane, Jr., "Election Forensics: The Second-digit Benford's Law Test and Recent American Presidential Elections" — PDF · 2013 · Dieter W. Joenssen, "Two Digit Testing for Benford's Law" — PDF