00 · แผนที่
บทนี้คือห้องพิจารณาคดี ไม่ใช่คำนำของมัน — ม้านั่งสองฝั่ง กฎการซักถาม สถานะของพยาน บทที่เหลือทั้งหมดคือการไต่สวนทีละครั้ง
ปรัชญากับการคำนวณเป็นโครงการเดียวกันที่ถูกแยกทางกันตั้งแต่เกิด ทำไม
ขีดจำกัดของเหตุผลถูกโต้แย้งสองครั้งในเมืองเดียวกันภายในสามวันของเดือนกันยายน 1930 โดยคนที่แทบไม่ได้ยินกันเลย การประชุมครั้งที่สองว่าด้วยญาณวิทยาของวิทยาศาสตร์แม่นตรง (Second Conference on the Epistemology of the Exact Sciences) จัดที่เคอนิกส์แบร์ก วันที่ 5 ถึง 7 กันยายน จอห์น ฟอน นอยมันน์มาเสนอข้อโต้แย้งฝ่ายฟอร์มัลลิสม์ (formalism) ว่าคณิตศาสตร์ค้ำยันได้ด้วยวิธีเชิงกลไกจำกัด (รายงานการประชุม, Erkenntnis 2, 1931) วันสุดท้าย ในวงอภิปรายทั่วไป เคิร์ท เกอเดิลหลุดปากออกมาเฉยๆ เกือบเป็นเรื่องผ่านๆ ว่าเขาแสดงประพจน์ทางเลขคณิตที่เป็นจริงแต่พิสูจน์ไม่ได้ในระบบรูปนัย (formal system) ของคณิตศาสตร์คลาสสิกได้ ฟอน นอยมันน์เข้าใจทันทีว่าเพิ่งมีอะไรถูกพูดออกมา (สารานุกรมปรัชญาสแตนฟอร์ด (SEP), Gödel's Incompleteness Theorems) วันรุ่งขึ้น 8 กันยายน ห่างไปไม่กี่ถนน เดวิด ฮิลแบร์ทปิดปาฐกถาต่อสมาคมนักวิทยาศาสตร์ธรรมชาติและแพทย์แห่งเยอรมนีด้วยหกคำที่ภายหลังถูกสลักลงบนหลุมศพของเขา: Wir müssen wissen. Wir werden wissen. เราต้องรู้ เราจะรู้
คำหลุดปากกับคำปฏิญาณพูดถึงเรื่องเดียวกัน และคำหลุดปากชนะ โครงการของฮิลแบร์ทไม่ใช่งานบ้านทางเลขคณิต มันคือการพนันเชิงปรัชญา — ว่าทุกคำถามทางคณิตศาสตร์ตัดสินได้ (decidable) ว่าความแน่นอนทำให้เป็นกลไกได้ (SEP, Hilbert's Program) เกอเดิลตีพิมพ์ในปี 1931 คำพนันก็แพ้ ห้าปีให้หลัง คำตอบส่วนที่เหลือมาถึง มาในรูปของเครื่องจักร
โครงการนั้นแก่กว่านั้นสองศตวรรษครึ่งอยู่แล้ว กอทท์ฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิซใช้ชีวิตทั้งชีวิตกับอุปกรณ์ชิ้นหนึ่งและความฝันหนึ่ง: characteristica universalis ระบบสัญลักษณ์ที่ทุกมโนทัศน์แตกตัวลงเป็นหน่วยพื้นฐาน ต่อเข้ากับ calculus ratiocinator ระบบกฎสำหรับคำนวณด้วยหน่วยเหล่านั้น เป้าหมายไม่ใช่ความเป็นระเบียบ แต่คือสันติภาพ เขาเขียนว่า ทางเดียวที่จะแก้การให้เหตุผลของเราให้ถูกคือทำให้มันจับต้องได้อย่างที่นักคณิตศาสตร์ทำ เพื่อให้เราเห็นความผิดพลาดของตัวเองในพริบตา และเมื่อคนสองคนพิพาทกัน เราก็เพียงบอกว่า มาคำนวณกันเถิด ไม่ต้องพูดพร่ำต่อ แล้วดูว่าใครถูก (Wiener, Leibniz: Selections, 1951, p. 51) ในภาษาละตินมันคือคำเดียว: calculemus ฮาร์ดแวร์เขาก็สร้าง — เครื่องคิดเลขหมุนมือที่คูณและหารได้ ตัวหนึ่งโผล่ขึ้นมาจากห้องใต้หลังคาที่เกิททิงเงินในปี 1879
เส้นทางจากความฝันนั้นถึงเครื่องจักรบนโต๊ะคุณไม่ตรง จอร์จ บูลไม่รู้เลยว่าไลบ์นิซคาดการณ์พีชคณิตของเขาไว้บางส่วนแล้ว กว่าจะรู้ก็เกินหนึ่งปีหลัง The Laws of Thought (1854) ตอนที่โรเบิร์ต เลสลี เอลลิสชี้ให้ดู เฟรเกกลับกัน — เขาเอ่ยชื่อ calculus ratiocinator ตรงๆ และรับมรดกนั้นอย่างจงใจ (SEP, Leibniz's Influence on 19th Century Logic) ความฝันนี้ถูกค้นพบใหม่บ่อยไม่แพ้ถูกส่งต่อ และนั่นเองคือหลักฐานของข้อเสนอหลักในเล่มนี้: สองสาขามาถึงความคิดเดียวกันครั้งแล้วครั้งเล่า เพราะทั้งคู่ขุดตะเข็บเดียวกัน
ตะเข็บนั้นเดินแบบนี้ Begriffsschrift ของเฟรเก (Halle, 1879) ให้ตัวบ่งปริมาณ (quantifier) มา และตรรกศาสตร์ก็แข็งพอจะแบกการให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ ไม่ใช่แค่จำแนกซิลโลจิซึม (syllogism) จดหมายของรัสเซลล์ ลงวันที่ 16 มิถุนายน 1902 แสดงว่ารากฐานของเฟรเกมีข้อขัดแย้งอยู่ข้างใน Grundzüge der theoretischen Logik (1928) ของฮิลแบร์ทกับอัคเคอร์มันน์ตั้ง Entscheidungsproblem (ปัญหาการตัดสินใจ) ขึ้นมา: มีกระบวนวิธีที่ตัดสินได้ไหม ว่าข้อความใดๆ ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง (first-order logic) สมเหตุสมผลหรือไม่ เกอเดิลตอบคำถามข้างเคียงในปี 1931 ว่าไม่มี ปี 1936 ตัว Entscheidungsproblem เองล้มลงสองครั้ง โดยคนสองคนที่ไม่ได้ทำงานร่วมกัน: อลอนโซ เชิร์ชในเดือนเมษายน (American Journal of Mathematics 58: 345–363) และอลัน ทัวริงในบทความที่รับไว้เมื่อ 28 พฤษภาคม
วิธีของทัวริงคือบานพับของทั้งเล่มนี้ จะพิสูจน์ว่าไม่มีกระบวนวิธีอยู่จริง เขาต้องบอกให้ได้ก่อนว่ากระบวนวิธีคืออะไร และคำว่า "เชิงกลไก" ไม่เคยมีนิยามเป็นทางการมาก่อน เขาจึงนิยามเอง: เสมียนในอุดมคติ มีเทปกระดาษ สถานะจำนวนจำกัด ตารางกฎหนึ่งตาราง และโต้ว่าเท่านี้ครอบคลุมทุกอย่างที่มนุษย์ผู้คำนวณตามคำสั่งตายตัวทำได้ เครื่องสากล (universal machine) และคอมพิวเตอร์แบบโปรแกรมเก็บในตัว (stored-program computer) เป็นผลพลอยได้ของข้อโต้แย้งนั้น ไม่มีใครคิดจะก่อตั้งอุตสาหกรรม มีคนคนหนึ่งพยายามยุติคำถามว่าเหตุผลมีกระบวนวิธีตัดสินใจหรือไม่ แล้วคอมพิวเตอร์ก็หล่นออกมาจากบทพิสูจน์
ความแปลกแยก (estrangement) มาเร็ว และมาจากสถาบัน ไม่ใช่จากความคิด ทัวริงตีพิมพ์บทความก่อตั้งวิชาการคำนวณในวารสารคณิตศาสตร์ พอถึงเดือนตุลาคม 1950 เขาเอาคำถามก่อตั้งเรื่องจิตของเครื่องจักรไปลง Mind วารสารปรัชญา — คนเดียว สองคณะ ห่างกันสิบสี่ปี พอภาควิชาวิทยาการคอมพิวเตอร์ (computer science) แห่งแรกของสหรัฐฯ ตั้งขึ้นที่พูร์ดูในเดือนตุลาคม 1962 มันถูกวางไว้ใต้ฝ่ายวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์: สาขาใหม่หยิบเครื่องจักรไปจากคณิตศาสตร์ แล้วทิ้งคำถามไว้กับปรัชญา (Rice & Rosen, Purdue CS history) ตั้งภาควิชานั้นถูก เชื่อมภาควิชานั้นแพง
ต่างฝ่ายต่างลืมของที่อีกฝ่ายถืออยู่ การคำนวณลืมความหมาย โคลด แชนนอนเปิดทฤษฎีสารสนเทศในปี 1948 ด้วยการวางความหมาย (semantics) ไว้ข้างนอก — "แง่มุมเชิงความหมายของการสื่อสารเหล่านี้ไม่เกี่ยวข้องกับปัญหาเชิงวิศวกรรม" — เป็นวงเล็บที่ซื่อตรง และถูกต้องเป๊ะสำหรับการสร้างเครือข่ายโทรศัพท์ แต่วงเล็บที่คงไว้แปดสิบปีย่อมแข็งตัวเป็นอภิปรัชญา และสาขาที่วัดสารสนเทศโดยไม่มีความหมาย สุดท้ายก็สร้างระบบที่ตัวเองวัดพฤติกรรมได้แต่ตีความไม่ได้ ปรัชญาลืมความเป็นไปได้จริง ผู้รู้ (epistemic agent) มาตรฐานของปรัชญารู้ทุกผลสืบเนื่องของสิ่งที่ตนรู้ — ความรอบรู้เชิงตรรกะ (logical omniscience) สิ่งมีชีวิตที่ไม่มีขอบเขตทรัพยากรใดยอมให้มีอยู่ ข้อโต้แย้งทั้งชุดเรื่องความรู้ เหตุผล และความเชื่อ ตั้งอยู่บนผู้รู้ที่นำไปใช้จริงไม่ได้ในสเกลใดเลย (Aaronson, Why Philosophers Should Care About Computational Complexity, 2011)
หนังสือเล่มนี้จึงไม่ใช่การสำรวจสองซีก มันคือการซักถามค้าน (cross-examination) และความต่างตรงนี้สำคัญ การสำรวจรายงานว่าแต่ละฝ่ายเชื่ออะไร การซักถามค้านบังคับให้แต่ละฝ่ายตอบด้วยคำศัพท์ของอีกฝ่าย ที่ซึ่งความเคยชินของตัวเองปกป้องมันไม่ได้ กฎสามข้อยืนอยู่ตรงนี้ ข้อแรก ผู้ซักถาม (examiner) เป็นคนกำหนดเงื่อนไข — พยาน (witness) ที่ได้ตอบด้วยถ้อยคำของตัวเองนั้นกำลังถูกสัมภาษณ์ ไม่ใช่ถูกซักถาม ข้อสอง ทั้งสองเสียงปรากฏในทุกบท: ตรงที่เครื่องจักรอยู่ในที่นั่งพยาน (on the stand) มันตอบโต้ ตรงที่ปรัชญาอยู่ในที่นั่งพยาน มันคัดค้าน ข้อสาม ทุกข้อกล่าวอ้างแบกหลักฐานของตัวเองมาด้วย — วันที่ ผลงานชิ้นหนึ่ง แหล่งอ้างอิงที่เปิดดูได้ — เพราะทางแพ้ที่เร็วที่สุดในการซักถามค้านคือยืนยันสิ่งที่บันทึกคดี (the record) ไม่รองรับ
ภาค I บทที่ 01–08 เอาเครื่องจักรขึ้นที่นั่งพยาน แล้วปล่อยให้ปรัชญาถาม: โปรแกรมเป็นสิ่งชนิดไหน คำตอบของเครื่องจักรนับเป็นความรู้หรือไม่ โค้ดมีความหมายได้อย่างไร การตัดสินใจมอบหมายต่อไปได้ไหมโดยไม่ทำศีลธรรมของมันหาย ภาค II บทที่ 09–15 สลับม้านั่ง: การคำนวณถามปรัชญาว่าส่งมอบอะไรได้จริงบ้าง และคำตอบมักทำให้จุดยืนที่ฟังดูมั่นคงต้องอับอาย ตอนจบไม่มีการอ่านคำตัดสิน (verdict) บทที่ 15 อธิบายว่าทำไมการซักถามจึงปิดไม่ได้ บทที่ 99 ส่งเส้นทางให้คุณเดินต่อเอง
วิธีอ่าน: สิบเจ็ดไฟล์ แต่ละไฟล์จบในตัว เอาหลักการ ไม่เอาความครอบคลุม ทุกบทเปิดด้วยหนึ่งบรรทัดที่วางตำแหน่งของบทนั้นในสองศาล (the two courts) และปิดด้วย "เชื่อมโยง" — บทไหนซักถามค้านบทนี้บ้าง — พร้อมคำถามที่ยังเปิดอยู่และรายการอ่านสั้นๆ ที่ตรวจสอบได้ อ่านรวดเดียวจากต้นก็ได้ เข้าตรงไหนก็ได้ บรรทัด "เชื่อมโยง" คือทางเดินระหว่างห้องพิจารณาคดี (courtroom)
เชื่อมโยง
ทุกอย่างเชื่อมมาที่บทนี้ ส่วนบทนี้ไม่ได้ยืนอยู่บนอะไรเลย บทที่ 01 คือเพื่อนบ้านที่ใกล้ที่สุด — ตรรกศาสตร์คือที่ที่สองสาขายังเป็นครอบครัวเดียวกัน และเป็นที่ที่เกอเดิล ทัวริง กับ Curry–Howard ถูกจัดการอย่างถูกต้อง บทที่ 09 ย้อนกลับไปปี 1936 เพื่อถามว่าข้อตั้ง Church–Turing คืออะไรกันแน่: คณิตศาสตร์ ข้อกล่าวอ้างเชิงประจักษ์ หรือคำนิยาม บทที่ 10 เปลี่ยนความเป็นไปได้จริงที่ปรัชญาลืม ให้กลายเป็นข้อคัดค้านที่ยืนค้างอยู่ตลอด บทที่ 11 ตรวจวงเล็บของแชนนอนอย่างครบถ้วน
คำถามที่ยังเปิดอยู่
ความแปลกแยกนั้นจำเป็น หรือเป็นแค่เรื่องงานบริหาร สาขาที่เก็บนักปรัชญาของตัวเองไว้อาจไปถึงงานวิจัยด้าน interpretability ได้เร็วกว่านี้หลายสิบปี — หรืออาจมัวถกเถียงแทนที่จะลงมือสร้าง ห้องพิจารณาคดีเป็นรูปทรงที่ถูกต้องหรือเปล่า หรือกรอบแบบปรปักษ์กลับยกยอทั้งสองฝ่าย ด้วยการสมมติไว้ก่อนว่าแยกออกจากกันได้ และถ้าทั้งคู่เป็นโครงการเดียวกันจริง ทำไมยังไม่มีสถาบันไหนเก็บทั้งคู่ไว้ด้วยกันได้นาน
อ่านต่อ
- Martin Davis, The Universal Computer: The Road from Leibniz to Turing, W. W. Norton, 2000 (ฉบับปกอ่อนเปลี่ยนชื่อเป็น Engines of Logic, 2001) — เนื้อหาของบทนี้ในความยาวระดับหนังสือทั้งเล่ม เล่าผ่านตัวบุคคล
- Alan M. Turing, "On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem," Proceedings of the London Mathematical Society, ser. 2, 42 (1936–37): 230–265 — doi.org/10.1112/plms/s2-42.1.230 อ่านคู่กับ "Computing Machinery and Intelligence," Mind LIX, no. 236 (October 1950): 433–460 — doi.org/10.1093/mind/LIX.236.433 — เพื่อดูความแยกที่วิ่งผ่านจิตใจคนคนเดียว
- The Philosophy of Computer Science, SEP — แผนที่ประจำของดินแดนชายแดนนี้ อ่านคู่กับรายการเรื่องข้อตั้ง Church–Turingและโครงการของฮิลแบร์ท