12 · ห้ามแตะขอบ
พยากรณ์อากาศบอกว่าพรุ่งนี้มีโอกาสฝนตกเจ็ดสิบเปอร์เซ็นต์ แล้วฝนไม่ตก ความรู้สึกแรกคือพยากรณ์ผิด บทนี้จะตอบว่ามันผิดหรือไม่ และคำตอบพาไปถึงเรื่องที่ใหญ่กว่าฝนมาก
ความมั่นใจร้อยเปอร์เซ็นต์ไม่ใช่ความรู้ขั้นสูงสุด มันคือจุดที่หลักฐานทั้งโลกขยับคุณไม่ได้อีกแล้ว
ความเชื่อที่เป็นตัวเลข
ความเชื่อไม่ได้มีแค่เชื่อกับไม่เชื่อ
Frank Ramsey นักปรัชญาชาวอังกฤษ เขียนไว้ในบทความปี 1926 ที่พิมพ์ออกมาหลังเขาเสียชีวิต ว่าความเชื่อมีระดับ และระดับนั้นเขียนเป็นความน่าจะเป็นได้ เชื่อว่าพรุ่งนี้ฝนตกเจ็ดสิบเปอร์เซ็นต์ คือความเชื่อที่อยู่ค่อนไปทางจริงแต่ยังไม่ถึง
ในภาษาของเล่มนี้ ความน่าจะเป็นคือการชั่งน้ำหนักให้โลกที่ยังไม่ถูกพับ แต่ละใบหนักไม่เท่ากัน ความเชื่อที่ความน่าจะเป็นหนึ่ง คือการถือประโยคหนึ่งราวกับว่ามันอยู่บนขอบบน ความเชื่อที่ศูนย์ คือการถือมันราวกับว่ามันอยู่บนขอบล่าง ทุกตัวเลขระหว่างนั้นคือความเชื่อที่ยังยอมรับว่าโลกอาจเป็นได้ทั้งสองแบบ
กฎของการเปลี่ยนใจ
มีกฎข้อหนึ่งที่บอกว่า เมื่อเห็นหลักฐานใหม่ ความเชื่อควรขยับไปเท่าไร
Thomas Bayes นักบวชชาวอังกฤษ เขียนกฎนี้ไว้ในบทความที่ Richard Price เพื่อนของเขานำไปตีพิมพ์ในปี 1763 หลัง Bayes เสียชีวิต และ Pierre-Simon Laplace ในฝรั่งเศสเขียนกฎแบบเดียวกันไว้ในปี 1774
กฎนั้นพูดเป็นภาษาง่ายๆ ได้ว่า ความเชื่อหลังเห็นหลักฐาน เท่ากับความเชื่อก่อนเห็นหลักฐาน คูณด้วยว่าหลักฐานนั้นน่าจะเกิดแค่ไหนถ้าเรื่องนั้นจริง แล้วปรับสัดส่วนให้ทุกทางเลือกรวมกันได้หนึ่ง
ในกฎนั้นมีการคูณอยู่ และบทที่ 6 สอนไว้แล้วว่าการคูณด้วยศูนย์ทำอะไร ถ้าความเชื่อก่อนเป็นศูนย์ ไม่ว่าหลักฐานจะแรงแค่ไหน ความเชื่อหลังก็ยังเป็นศูนย์ ถ้าความเชื่อก่อนเป็นหนึ่ง หลักฐานที่ค้านแรงแค่ไหนก็ดึงมันลงมาไม่ได้ ตราบใดที่หลักฐานนั้นยังเป็นไปได้อยู่
แต่ความเชื่อที่ 0.999 ยังขยับได้ ถ้าหลักฐานใหม่มีโอกาสเกิดมากเป็นหนึ่งหมื่นเท่าเมื่อเรื่องนั้นเท็จ ความเชื่อ 0.999 จะตกลงมาเหลือราว 0.09 ระยะห่างจากขอบเพียงหนึ่งในพัน คือทั้งหมดที่แยกคนที่ยังเรียนรู้ได้ ออกจากคนที่เรียนรู้ไม่ได้อีกแล้ว
จดหมายปี 1650
มีคำขอร้องเก่าแก่ข้อหนึ่งที่ตรงกับคณิตศาสตร์นี้พอดี
Oliver Cromwell เขียนจดหมายถึงที่ประชุมใหญ่ของคริสตจักรแห่งสกอตแลนด์ ลงวันที่ 3 สิงหาคม 1650 มีประโยคหนึ่งว่า "ข้าพเจ้าขอวิงวอนท่าน ในนามแห่งความเมตตาของพระคริสต์ ขอให้ท่านคิดไว้ว่าท่านอาจผิดได้"
สามร้อยกว่าปีต่อมา Dennis Lindley นักสถิติชาวอังกฤษ ตั้งชื่อหลักการข้อหนึ่งตามจดหมายฉบับนั้นว่า กฎของ Cromwell อย่าให้ความน่าจะเป็นศูนย์หรือหนึ่งแก่สิ่งใด ยกเว้นสิ่งที่จริงหรือเท็จด้วยตรรกะล้วนๆ สัจนิรันดร์ได้หนึ่งได้ ข้อขัดแย้งในตัวได้ศูนย์ได้ เรื่องของโลกทุกเรื่องต้องอยู่ตรงกลาง
กฎนี้ไม่ได้ห้ามความมั่นใจสูง มันห้ามแค่การก้าวข้ามเส้นไปยืนบนขอบ เพราะคนที่ยืนบนขอบเรียนรู้ไม่ได้อีกแล้ว ไม่ใช่เพราะเขาดื้อ แต่เพราะคณิตศาสตร์ไม่เหลือที่ให้เขาขยับ
พยากรณ์ผิดหรือไม่
กลับไปที่ฝนเจ็ดสิบเปอร์เซ็นต์ คำพยากรณ์แบบนี้ผิดในวันเดียวไม่ได้ มันผิดได้ในระยะยาวเท่านั้น
ผู้ที่ตรวจคำพยากรณ์ทำแบบนี้ เก็บทุกวันที่พยากรณ์ว่าเจ็ดสิบเปอร์เซ็นต์ แล้วนับว่าฝนตกจริงกี่วัน ถ้านับได้ราวเจ็ดสิบในร้อย พยากรณ์นั้นตรง ถ้านับได้สามสิบในร้อย มันผิด ต่อให้วันที่คุณจำได้ฝนจะตกจริงก็ตาม ความตรงแบบนี้เรียกว่า calibration
ความเชื่อที่อยู่ตรงกลางไม่ได้หนีความรับผิดชอบ มันรับผิดชอบในหน่วยที่ต่างออกไป ไม่ใช่ทีละครั้ง แต่เป็นร้อยครั้ง
ที่เดียวที่การเรียนรู้เกิดขึ้นได้คือระหว่างศูนย์กับหนึ่ง คนที่อยู่ตรงนั้นไม่ใช่คนลังเล เขาคือคนที่ยังเรียนได้
จะพลิกคำตัดสินนี้ได้เมื่อ: ส่วนที่เป็นคณิตศาสตร์ของบทนี้พลิกไม่ได้ในกรอบของทฤษฎีความน่าจะเป็น ความเชื่อที่ศูนย์หรือหนึ่งไม่ขยับตามกฎของ Bayes และคุณตรวจเองได้ด้วยการแทนศูนย์หรือหนึ่งลงในกฎ ส่วนที่พลิกได้คือคำแนะนำ ถ้ามีหลักฐานว่าคนหรือเครื่องจักรที่ยอมให้ความเชื่อเรื่องโลกบางเรื่องอยู่ที่ศูนย์หรือหนึ่ง ตัดสินใจได้แม่นกว่าอย่างเป็นระบบในเรื่องเดียวกัน กฎของ Cromwell ก็เป็นเพียงความระวังที่เกินจำเป็น
แหล่ง:
- Ramsey 1926, "Truth and Probability" พิมพ์ครั้งแรกปี 1931 ใน The Foundations of Mathematics and other Logical Essays — https://plato.stanford.edu/entries/ramsey/
- Bayes 1763, "An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances", Philosophical Transactions of the Royal Society 53: 370–418 — https://en.wikipedia.org/wiki/An_Essay_Towards_Solving_a_Problem_in_the_Doctrine_of_Chances
- Laplace 1774, "Mémoire sur la probabilité des causes par les évènemens" — https://link.springer.com/article/10.1007/BF00348352
- Cromwell, จดหมายถึงที่ประชุมใหญ่ของคริสตจักรแห่งสกอตแลนด์ 3 สิงหาคม 1650 — https://olivercromwell.org/Letters_and_speeches/letters/Letter_129.pdf
- Lindley 1991, Making Decisions ฉบับที่ 2 (Wiley) หน้า 104 ที่มาของชื่อกฎของ Cromwell — https://en.wikipedia.org/wiki/Cromwell%27s_rule
- US National Weather Service, ความหมายของโอกาสฝนตก — https://www.weather.gov/lmk/pops และ reliability diagram (Wilks 1995) — https://www.nssl.noaa.gov/users/brooks/public_html/media/okcmed.html