8 · จุดเดียว
ถ้าคุณเคยอยู่ในห้องที่มืดสนิทจนแยกไม่ออกว่าตัวเองลืมตาหรือหลับตาอยู่ คุณเคยเจอภาพเปรียบของบทนี้ด้วยร่างกายมาแล้ว ลืมตากับหลับตาไม่ได้กลายเป็นสิ่งเดียวกัน มันแค่ไม่เหลืออะไรให้เทียบว่าต่างกัน
เมื่อไม่เหลืออะไรให้เทียบ ความต่างก็ไม่มีที่อยู่ จริงกับเท็จก็เช่นกัน และประโยคนี้ไม่ใช่บทกวี มันคือทฤษฎีบท
แผนที่ที่ยุบ
ย้อนไปที่ข้อพิสูจน์สี่บรรทัดในบทที่ 6 ระบบที่ยอมรับข้อขัดแย้งเข้ามาคู่เดียวพิสูจน์ได้ทุกประโยค รวมทั้งประโยคว่า จริงสมบูรณ์กับเท็จสมบูรณ์เป็นสิ่งเดียวกัน
ในภาษาของโลก ระบบนั้นไม่เหลือโลกให้ยืนสักใบ ขอบบนคือกองที่มีทุกโลก ขอบล่างคือกองที่ไม่มีโลกเลย เมื่อทุกโลกถูกพับหมด คำว่าทุกโลกกับคำว่าไม่มีโลกเลยก็ชี้ไปที่กองเดียวกัน คือกองที่ว่างเปล่า แผนที่ทั้งผืนยุบเหลือจุดเดียว และขอบบนกับขอบล่างทับกันสนิท
นักตรรกศาสตร์ยืนยันเรื่องนี้ได้สองทาง ทางแรกใช้พีชคณิตของ Boole ในบทที่ 6 ในระบบที่ขัดแย้ง หนึ่งกับศูนย์กลายเป็นตัวเดียวกัน ทางที่สองใช้ทฤษฎีบทที่ Kurt Gödel พิสูจน์ในปี 1930 ระบบหนึ่งขัดแย้ง ก็ต่อเมื่อไม่มีโลกใบไหนที่ทำให้ข้อตั้งทั้งหมดของมันจริงพร้อมกันได้
สองเกณฑ์ขั้นต่ำ
ไล่นับจากศูนย์ขึ้นไป แล้วจะเห็นว่าความต่างต้องการอะไรบ้าง
ถ้าไม่เหลือโลกเลย มีประโยคได้แบบเดียว ขอบบนกับขอบล่างเป็นจุดเดียวกัน
ถ้าเหลือโลกหนึ่งใบ จริงกับเท็จแยกกันได้แล้ว แต่ทุกประโยคจะไปอยู่ที่ขอบใดขอบหนึ่ง ไม่มีประโยคไหนอยู่ตรงกลาง จึงไม่มีประโยคไหนบอกอะไรที่คุณไม่รู้อยู่ก่อน
ถ้าเหลือโลกตั้งแต่สองใบขึ้นไป ประโยคที่อยู่ตรงกลางจึงเกิดขึ้นได้ คือประโยคที่เก็บโลกบางใบและพับบางใบ และนั่นคือประโยคแบบเดียวที่พูดอะไรได้จริง
ความจริงต้องการโลกอย่างน้อยหนึ่งใบ การพูดอะไรสักอย่างต้องการอย่างน้อยสองใบ
คนที่มาถึงก่อน
ความคิดว่าความต่างเกิดจากการเทียบ ไม่ได้เริ่มที่ตรรกศาสตร์
Nicholas of Cusa นักปรัชญาชาวเยอรมันที่ต่อมาได้เป็นพระคาร์ดินัล เขียนไว้ในหนังสือ De docta ignorantia เมื่อปี 1440 ว่า การตามหาความรู้ทุกแบบทำงานด้วยการเทียบ ด้วยการวัดสิ่งหนึ่งกับอีกสิ่งหนึ่ง สิ่งที่ไม่มีขอบเขตหลุดพ้นการเทียบทุกแบบ จึงเป็นสิ่งที่รู้ไม่ได้ ในหนังสือเล่มเดียวกัน เขาเสนอว่าในความสมบูรณ์สูงสุด สิ่งที่มากที่สุดกับสิ่งที่น้อยที่สุดบรรจบเป็นหนึ่งเดียว ความคิดนี้ภายหลังถูกเรียกว่าการบรรจบของสิ่งตรงข้าม (coincidentia oppositorum)
อีกสามร้อยกว่าปีต่อมา Hegel เปิดหนังสือ Science of Logic ด้วยความคิดที่ใกล้กันมาก ความเป็นที่บริสุทธิ์ ที่ไม่มีลักษณะอะไรมากำหนดเลย แท้จริงแล้วก็คือความว่างที่บริสุทธิ์ ความเป็นกับความว่างที่ไม่มีอะไรให้แยก จึงเป็นสิ่งเดียวกัน
สองคนนี้พูดด้วยภาษาของปรัชญา และบทนี้เพิ่มให้แค่อย่างเดียว คือเงื่อนไขที่นับได้ ความต่างระหว่างจริงกับเท็จไม่ได้หายไปเพราะความลึกลับ มันหายไปเมื่อโลกที่เหลือให้เทียบเป็นศูนย์ และมันกลับมาทันทีเมื่อมีโลกหนึ่งใบ
ตรรกะที่ไม่ยอมยุบ
ไม่ใช่นักตรรกศาสตร์ทุกคนยอมจ่ายราคานี้
ถ้าข้อขัดแย้งข้อเดียวทำลายทุกอย่างได้ ฐานข้อมูลขนาดใหญ่ ประมวลกฎหมาย หรือคลังความรู้ที่คนนับพันเขียนร่วมกัน ซึ่งอาจมีข้อขัดแย้งหลุดเข้าไปสักข้อ ก็จะพิสูจน์ได้ทุกอย่างทันที Stanisław Jaśkowski ในโปแลนด์เสนอระบบแรกๆ ของตรรกะอีกแบบไว้ในปี 1948 Florencio Asenjo ในอาร์เจนตินา และ Newton da Costa ในบราซิล พัฒนามันต่อในวิทยานิพนธ์ของทั้งสองคน ในปี 1954 และ 1963 ต่อมา Graham Priest เสนอระบบของเขาในปี 1979 ตรรกะกลุ่มนี้เรียกว่า paraconsistent ในระบบเหล่านี้ ข้อขัดแย้งหนึ่งคู่อยู่ได้โดยไม่ลามไปทั้งระบบ และมีคนนำมันไปใช้กับฐานข้อมูลที่ข้อมูลขัดกันเองตั้งแต่ปลายทศวรรษ 1980
ราคาของทางนี้ไม่ถูก ถ้าคุณรู้ว่ากุญแจอยู่ในกระเป๋าเสื้อหรือกระเป๋ากางเกง แล้วคลำกระเป๋าเสื้อไม่เจอ คุณสรุปว่ามันอยู่ในกระเป๋ากางเกง นั่นคือรูปทรงในบรรทัดที่สี่ของข้อพิสูจน์เรื่องขนมชั้น และระบบของ Priest ต้องเลิกรับประกันรูปทรงนี้ในทุกกรณี จึงจะหยุดการระเบิดได้
สิ่งที่ข้อขัดแย้งทำลายไม่ใช่ข้อเท็จจริงข้อใดข้อหนึ่ง มันทำลายความสามารถในการเทียบ และเมื่อเทียบไม่ได้ ก็ไม่เหลืออะไรให้รู้
จะพลิกคำตัดสินนี้ได้เมื่อ: คุณเลือกตรรกะ paraconsistent ในระบบเหล่านั้น ข้อขัดแย้งข้อเดียวไม่ทำให้แผนที่ยุบ คำตัดสินของบทนี้จึงเป็นคำตัดสินของตรรกะแบบฉบับ ไม่ใช่กฎของจักรวาล ส่วนที่นับได้ คือไม่มีโลกแล้วเหลือประโยคแบบเดียว มีโลกใบเดียวแล้วไม่มีประโยคตรงกลาง มีสองใบแล้วประโยคตรงกลางเริ่มเกิด คุณนับเองได้บนกระดาษ
แหล่ง:
- Font & Jansana, "Algebraic Propositional Logic", Stanford Encyclopedia of Philosophy — พีชคณิตที่มีสมาชิกตัวเดียว (trivial algebra) — https://plato.stanford.edu/entries/logic-algebraic-propositional/
- Gödel 1930, "Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls", Monatshefte für Mathematik und Physik 37: 349–360 — https://link.springer.com/article/10.1007/BF01696781
- Nicholas of Cusa 1440, De docta ignorantia เล่ม 1 บทที่ 1 (ความรู้ทำงานด้วยการเทียบ สิ่งไม่มีขอบเขตจึงรู้ไม่ได้) และบทที่ 4 (สิ่งที่มากที่สุดบรรจบกับสิ่งที่น้อยที่สุด ตามที่ Jasper Hopkins สรุปไว้ในบทนำฉบับแปล) — https://godandmath.com/wp-content/uploads/2010/03/di-intro12-2000.pdf
- Hegel 1812, Science of Logic ภาคว่าด้วยความเป็น บทที่ 1 และหมายเหตุว่าด้วยการกลายเป็น — https://www.marxists.org/reference/archive/hegel/works/hl/hl083.htm
- Priest 1979, "The Logic of Paradox", Journal of Philosophical Logic 8: 219–241 และประวัติของ Jaśkowski 1948, Asenjo 1954 กับ da Costa 1963 ใน Priest, Tanaka & Weber, "Paraconsistent Logic", Stanford Encyclopedia of Philosophy — https://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/
- Blair & Subrahmanian 1989, "Paraconsistent Logic Programming", Theoretical Computer Science 68: 135–154 — https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0304397589901266